تحت درس 5-2-1: الدالة الأسية والنمو والاضمحلال
مقدمة الدرس
هذا درس فرعي تابع لدرس الدوال الأسية واللوغاريتمية، ويغطي: الدالة الأسية والنمو والاضمحلال.
يتضمن 50 سؤالًا متنوعة المستوى بين المتوسط والصعب العالي، منها أسئلة مبنية على رسومات أصلية.
الدالة الأسية تتغير بمقدار مضاعف ثابت لا بمقدار جمع ثابت: كل وحدة زمنية تضرب القيم في الأساس نفسه، ولهذا تتضاعف الأعداد فيها بسرعة لا تتحقق في أي دالة أخرى.
أولًا: بنية الدالة الأسية
صورتها العامة: أ في الأساس ب أس س، بشرط أن يكون الأساس موجبًا ولا يساوي واحدًا.
أ هي القيمة الابتدائية عند س صفر، وهي تقاطع المنحنى مع المحور الرأسي.
مجالها كل الأعداد الحقيقية، أما مداها فهو جهة الإشارة فقط فلا تعبر صفرًا أبدًا.
المحور الأفقي خط تقارب أفقي: المنحنى يقترب منه إلى ما لا نهاية دون أن يلمسه.
إن كان الأساس أكبر من واحد كانت الدالة متزايدة، وإن كان بين صفر وواحد كانت متناقصة.
ثانيًا: القاعدة هـ والنمو المستمر
العدد هـ ثابت طبيعي يساوي نحو 2.718، وهو أساس النمو المستمر في الظواهر الطبيعية.
نموذج النمو المستمر: القيمة الابتدائية في هـ أس (معدل النمو في الزمن).
معدل التغير النسبي ثابت في أي دالة أسية، لذلك تُقاس المراحل بفترات مضاعفة لا بفواصل جمع.
زمن التضاعف يساوي لوغاريتم اثنين على معدل النمو، وهو ثابت لا يعتمد على القيمة الابتدائية.
الفرق بين الأسية والخطية يبدو صغيرًا في البداية ثم ينفجر في خطوات قليلة.
ثالثًا: الاضمحلال الأسّي وعمر النصف
الاضمحلال هو الحالة التي يكون فيها الأساس بين صفر وواحد، أو التي يكون فيها الأس سالبًا.
عمر النصف الزمن الذي تنقص فيه الكمية إلى نصفها، ويُستخرج من لوغاريتم النصف على لوغاريتم الأساس.
في المواد المشعة لا يتغير عمر النصف بتغيير الكمية الابتدائية ولا بالظروف المحيطة.
بعد عدد ن من أعمار النصف تبقى الكمية الأصلية مضروبة في نصف أس ن.
الإشارة السالبة في الأس تعني أن معدل التغير النسبي سالب، ولا تعني أن القيمة نفسها سالبة.
رابعًا: بناء النموذج من المسألة
حدّد القيمة الابتدائية أولًا، فهي المكان الذي يقف عنده العامل أ.
حوّل النسبة المئوية إلى عامل ضرب: زيادة عشرين بالمئة تعني الضرب في 1.2 لا في عشرين.
إذا كان التغير دوريًا فضع عدد الفترات في الأس، لا عدد الوحدات الزمنية الخام.
الفائدة المركبة تطابق النمو المستمر في البنية وتختلف عنه في عدد مرات التركيب خلال السنة.
اختبر النموذج بقيمة تعرف جوابها مسبقًا؛ البعد عن الناتج يعني خطأ في العامل لا في القانون.
خامسًا: القراءة والمقارنة بين الدوال
لا تنتظر من المنحنى الأسّي صفرًا: هو لا يقطع المحور الأفقي مهما امتد.
الجمع في الأس يقابل الضرب في الأساس، والطرح في الأس يقابل القسمة عليه.
الضرب في ثابت خارج الأساس إزاحة رأسية، والثابت داخل الأس إزاحة أفقية وتغيير معدل.
نفي الأس ينعكس به المنحنى حول المحور الرأسي، ونفي الدالة كلها ينعكس حول الأفقي.
بين دالتين أسيتين، الأساس الأكبر يتجاوز دائمًا ولو بدأ من قيمة أصغر.
الشكل التوضيحي للدرس
الشكل ١: النمو الأسّي والاضمحلال
مثال محلول خطوة بخطوة
مستعمرة بكتيريا تعدادها الأولي مئتان وتتضاعف كل ثلاث ساعات. اكتب دالة التعداد بدلالة عدد الساعات، ثم أوجد الزمن اللازم ليصل التعداد إلى ثلاثة آلاف وستمائة.
- التعداد يساوي مئتين في اثنين أس (ص على ثلاثة)، لأن التضاعف يحدث كل ثلاث ساعات.
- نقسم الطرفين على مئتين، فيصبح طرف المعادلة ثمانية عشر.
- نأخذ اللوغاريتم للطرفين: ص على ثلاثة يساوي لوغاريتم ثمانية عشر على لوغاريتم اثنين.
- لوغاريتم ثمانية عشر العشري يقارب 1.26 ولوغاريتم اثنين العشري يقارب 0.30، فالنسبة تقارب 4.17.
- نضرب 4.17 في ثلاثة للحصول على عدد الساعات.
الجواب: الدالة: التعداد يساوي مئتين في اثنين أس (ص على ثلاثة)، والزمن اللازم يقارب اثنتي عشرة ساعة ونصفًا.
أخطاء شائعة في اختبار التحصيلي
- استعمال المعدل نفسه نسبةً مئوية دون تحويله إلى عامل ضرب.
- وضع الزمن في الأساس بدل الأس في النموذج المستمر.
- توقع أن يقطع المنحنى الأسّي المحور الأفقي عند قيمة كبيرة.
- حساب زمن التضاعف بضرب الأساس في لوغاريتم اثنين بدل القسمة.
- خلط الاضمحلال بالقيم السالبة: القيمة تبقى موجبة والمعدل هو السالب.
- إهمال عدد مرات التركيب عند مقارنة الفائدة المركبة بالمستمر.