تحت درس 5-4-1: المتجهات والعمليات عليها
مقدمة الدرس
هذا درس فرعي تابع لدرس المتجهات والإحداثيات القطبية، ويغطي: المتجهات والعمليات عليها.
يتضمن 50 سؤالًا متنوعة المستوى بين المتوسط والصعب العالي، منها أسئلة مبنية على رسومات أصلية.
المتجه كمية لها مقدار واتجاه، بعكس العدد القياسي. وكل عملياته — جمعًا وطرحًا وضربًا — تُقرأ من مركبتيه، فلا تحتاج إلى رسم لتصل إلى الجواب.
أولًا: التمثيل والمركبات
المتجه من النقطة أ إلى ب هو إحداثي ب ناقص إحداثي أ في كل محور.
يُكتب بمركبتيه أو برأسه وذيله، والانتقال لا يغيّره ما دام المقدار والاتجاه ثابتين.
مقداره الجذر التربيعي لمجموع مربعي مركبتيه، وهو نظرية فيثاغورس مباشرة.
اتجاهه زاوية مقاسة من المحور الأفقي الموجب، وتُحسب بالظل المعكوس للمركبتين.
متجه الوحدة في اتجاه متجه ما هو المتجه مقسومًا على مقداره، فيصير مقداره واحدًا.
ثانيًا: الجمع والطرح
الجمع يتم مركبة بمركبة، فإذا عُلمت المركبات لم يحتج الأمر إلى رسم ولا تفكيك.
قاعدة المتوازي الأضلاع: حرك ذيل الثاني إلى رأس الأول، فالمحصّل من الذيل المشترك إلى الرأس البعيد.
قاعدة المثلث تعطي الناتج نفسه، والجمع تبديلي لأن ترتيب المركبات لا يهم.
الطرح جمع بالمعاكس: اعكس اتجاه المتجه المطروح ثم اجمعه.
أطول محصل ممكن هو مجموع المقدارين، وأقصره فرقهما مطلقًا.
ثالثًا: الضرب القياسي
الضرب القياسي جداء المركبات المتقابلة ثم جمعها، والناتج عدد لا متجه.
يساوي جداء المقدارين في جيب تمام الزاوية بينهما، ولهذا يُستعمل لإيجاد الزوايا.
متجهان متعامدان إذا وفقط إذا كان ضربهما القياسي صفرًا مع أنهما غير صفريين.
مربع المتجه على نفسه يساوي مربع مقداره، وهي طريقة مختصرة لحساب الأطوال.
إسقاط متجه على آخر يساوي ضربهما القياسي على مربع مقدار الآخر، ثم يُضرب الناتج في متجه الوحدة.
رابعًا: الضرب الاتجاهي والمركبات
الضرب الاتجاهي في المستوى يعطي عددًا هو مساحة متوازي الأضلاع، وفي الفضاء يعطي متجهًا.
اتجاه الناتج عمودي على المتجهين معًا، ويُحدَّد بقاعدة اليد اليمنى.
متجهان متوازيان إذا كان ضربهما الاتجاهي صفرًا، أي إذا تناسبت مركبتاهما.
الضرب الاتجاهي عكسي التبديل: عكس الترتيب يقلب الإشارة.
المتجه الصفري وحده هو الذي يضرب في أي متجه فيعطي صفرًا في الضرب القياسي والاتجاهي معًا.
خامسًا: التطبيقات الحركية
السرعة المتجهة مركّبة من سرعة المركبة وسرعة التيار، والمحصّل هو ما يُلاحَظ فعليًا.
لمقاومة الرياح يُحسب الاتجاه الفعلي بالمحصّل، لا بسرعة المحرك وحدها.
الشغل جداء قياسي للقوة في الإزاحة، فهو سالب حين تكون الزاوية منفرجة.
في التوازن يكون محصل القوى صفرًا، أي أن مجموع المركبتين الأفقية والرأسية صفر معًا.
زمن العبور في نهر يعتمد على المركبة العمودية على الضفتين فقط.
الشكل التوضيحي للدرس
الشكل ١: قاعدة المتوازي الأضلاع
مثال محلول خطوة بخطوة
متجهان أ مركبتاه (ثلاثة، أربعة)، وب مركبتاه (ثمانية، سالب ستة). أوجد محصلهما ومقداره واختبر تعامدهما.
- نجمع المركبة الأفقية مع الأفقية والرأسية مع الرأسية.
- الأفقية أحد عشر، والرأسية سالب اثنين، فيكون المحصل (أحد عشر، سالب اثنين).
- مقدار المحصل الجذر التربيعي لمجموع مربعي المركبتين.
- مربع أحد عشر مئة وواحد وعشرون، ومربع سالب اثنين أربعة، فمجموعهما مئة وخمسة وعشرون.
- لاختبار تعامد المتجهين الأصليين نحسب الضرب القياسي: أربعة وعشرون ناقص أربعة وعشرون.
الجواب: المحصّل (أحد عشر، سالب اثنين) ومقداره جذر مئة وخمسة وعشرين، وأما أ وب فمتعامدان لأن ضربهما القياسي صفر.
أخطاء شائعة في اختبار التحصيلي
- جمع المقدارين بدل المركبتين عند حساب المحصل.
- حساب الاتجاه بالظل المعكوس دون مراعاة الربع الذي يقع فيه المتجه.
- اعتبار الضرب القياسي متجهًا أو الضرب الاتجاهي عددًا في المستوى.
- نسيان معكوس المتجه عند الطرح فيُجمع بدل أن يُطرح.
- اختبار التعامد بالتناسب بدل الضرب القياسي.
- استعمال متجه غير معيّر عند حساب الإسقاط على وحدة اتجاه.