تحت درس 5-4-2: الإحداثيات القطبية وتحويلها
مقدمة الدرس
هذا درس فرعي تابع لدرس المتجهات والإحداثيات القطبية، ويغطي: الإحداثيات القطبية وتحويلها.
يتضمن 50 سؤالًا متنوعة المستوى بين المتوسط والصعب العالي، منها أسئلة مبنية على رسومات أصلية.
النظام القطبي يصف الموقع بمسافة من نقطة مرجعية ثابتة وبقدر من الدوران عنها، بدل مسافتين على محورين متعامدين. وعندما تكون المسألة دائرةً أو دورانًا أو شعاعًا صادرًا من مركز، يختصر هذا النظام الحل اختصارًا كبيرًا.
أولًا: عناصر النظام القطبي
القطب هو نقطة المرجع، ويقابل الأصل في النظام المتعامد.
محور الأقطاب هو الشعاع الأفقي المرجعي الذي تُقاس منه الزوايا في اتجاه عكس عقارب الساعة.
التمثيل القطبي يتكون من عددين: المسافة عن القطب، والزاوية عن محور الأقطاب.
قد تكون المسافة سالبة، وعندها تُرسم النقطة على امتداد الشعاع في الجهة المعاكسة للزاوية.
النقطة الواحدة لها تمثيلات صحيحة: يمكن إضافة دورة كاملة إلى الزاوية، أو عكس الإشارة مع إضافة نصف دورة.
ثانيًا: التحويل من قطبي إلى متعامد
الإحداثي الأفقي يساوي المسافة في جيب تمام الزاوية.
الإحداثي الرأسي يساوي المسافة في جيب الزاوية.
المرجع في هاتين الصيغتين هو المثلث القائم الذي وتره هو الشعاع القطبي.
القياس بالدرجات وبالراديان صحيح في الصيغتين، بشرط أن تكون الآلة أو القانون على الوضع نفسه.
إذا كانت المسافة سالبة تطبّق الصيغتين ثم نعكس إشارة الناتجين معًا.
ثالثًا: التحويل من متعامد إلى قطبي
مربع المسافة عن الأصل يساوي مجموع مربعي الإحداثيين.
ظل الزاوية يساوي الإحداثي الرأسي على الإحداثي الأفقي.
الظل وحده لا يحدد الزاوية: لا بد من معرفة الربع الذي تقع فيه النقطة.
نقطة الأصل هي الحالة الخاصة التي تسقط فيها المسافة صفرًا وتصبح الزاوية غير معرّفة.
الزاوية المرجعية تُحسب من الظل العكسي، ثم يضاف نصف دورة إذا كانت النقطة في النصف الأيسر من المستوى.
رابعًا: منحنيات قطبية متكررة في الاختبار
معادلة من صورة المسافة تساوي ثابتًا تصف دائرة مركزها القطب.
دائرة تمر بالأصل مركزها على محور الأقطاب تُكتب بمسافة تساوي ثابتًا في جيب تمام الزاوية.
القلبية منحنٍ قلب الشكل له نقطة انحناء عند القطب، وينفتح في اتجاه المحور المرجعي.
الوردة عدد بتلاتها يساوي معامل الزاوية إذا كان فرديًا، ويساوي ضعفه إذا كان زوجيًا.
اللولب تزداد المسافة فيه بانتظام مع الزاوية، وهو الصورة القطبية للدالة الخطية.
خامسًا: التماثل والقراءة على الشبكة القطبية
استبدال الزاوية بسالبها يختبر التماثل حول محور الأقطاب.
استبدال الزاوية بنصف دورة ناقصها يختبر التماثل حول المحور الرأسي.
عكس إشارة المسافة وحدها يختبر التماثل حول القطب.
تقاطع منحنيين قطبيين قد يظهر عند القطب نفسه رغم اختلاف الزاويتين اللتين تحققان المعادلتين.
حدّ القيم الموجب للمسة هو الذي يحدد حجم الرسم، لذلك يُنصح بحسابه قبل توليد النقاط.
الشكل التوضيحي للدرس
الشكل ١: من القطب إلى المحورين: تحويل النقطة
مثال محلول خطوة بخطوة
نقطة إحداثياتها المتعامدة: الأفقي اثنان، والرأسي اثنين جذر ثلاثة. أوجد تمثيلها القطبي بمسافة موجبة وزاوية بين صفر ودورة كاملة.
- مربع الإحداثي الأفقي يساوي أربعة، ومربع الإحداثي الرأسي يساوي اثني عشر.
- مجموع المربعين ستة عشر، فالمسافة عن القطب هي جذر ستة عشر أي أربعة.
- ظل الزاوية يساوي اثنين جذر ثلاثة على اثنين، أي جذر ثلاثة.
- الزاوية التي ظلها جذر ثلاثة هي ستون درجة، وهي ثلث دورة مقاسةً بالراديان.
- النقطة في الربع الأول لأن إحداثييه موجبان، فلا نضيف نصف دورة إلى الزاوية.
الجواب: التمثيل القطبي: المسافة أربعة والزاوية ستون درجة، وما يعادلها بالراديان يقارب واحدًا وخمسة من عشرة.
أخطاء شائعة في اختبار التحصيلي
- استعمال قانون الظل وحده وتحديد الزاوية بغير الربع الصحيح.
- حساب المسافة بجمع الإحداثيين بدل جذر مجموع المربعين.
- خلط الدرجات بالراديان داخل الصيغة التكيبية نفسها.
- اعتبار التمثيل القطبي للنقطة واحدًا لا عدة تمثيلات.
- نسيان أن المسافة السالبة تنقل النقطة إلى الجهة المعاكسة للشعاع.
- توقع أن تمر الدائرة القطبية بالأصل وهي مركزها القطب نفسه.