تحت درس 6-2-1: قواعد الاشتقاق ومشتقة الدوال المركبة
مقدمة الدرس
هذا درس فرعي تابع لدرس الاشتقاق والتكامل، ويغطي: قواعد الاشتقاق ومشتقة الدوال المركبة.
يتضمن 50 سؤالًا متنوعة المستوى بين المتوسط والصعب العالي، منها أسئلة مبنية على رسومات أصلية.
المشتقة هي ميل المماس عند نقطة، أي معدل التغير اللحظي. وحسابها بلا حدود لا يحتاج تعريف النهاية في كل مرة، بل يحتاج قواعد جاهز تُطبَّق بالترتيب الصحيح على بنية الدالة.
أولًا: المشتقة كميل المماس
ميل القاطع بين نقطتين هو فرق القيم على فرق المدخلين.
بتقريب النقطتين إلى بعضها يتحول القاطع إلى مماس، وفرق المدخلين إلى صفر.
المشتقة عند نقطة عدد، وهي ميل خط المماس هناك.
معادلة المماس: الرأسي ناقص قيمة الدالة يساوي الميل في الأفقي ناقص المدخل.
المماس العمودي ميله غير معرّف، ويظهر حيث تنفجر المشتقة.
ثانيًا: القواعد الأساسية
مشتقة ثابت صفر، ومشتقة المدخل واحد.
قوة قاعدة القوة: الأس ينزل معاملًا ويقلّص بواحد.
مشتقة الجيب جيب التمام، ومشتقة جيب التمام سالب الجيب.
مشتقة الظل تساوي مربع جيب التمام، ومشتقة الظل العكسي واحد على واحد زائد التربيع.
الثابت الضربي يبقى خارج المشتقة، والثابت الجمعي يسقط.
ثالثًا: قواعد الجمع والجداء والخصوص
مشتقة الجمع والفرق هي جمع وفرق المشتقتين حدًا حدًا.
قاعدة الجداء: مشتقة الأول في الثاني زائد الأول في مشتقة الثاني.
قاعدة الخصوصية: مشتقة البسط في المقام ناقص البسط في مشتقة المقام، على مربع المقام.
الجداء والخصوص لا تتبادلان: ترتيب الحدّين في الصيغة مهم.
قبل تطبيق الخصوصية يمكن تبسيط الكسر الجبري، فالتبسيط يختصر الحساب غالبًا.
رابعًا: قاعدة السلسلة
للدالة المركبة: مشتقة الخارج مقَيّمة عند الداخل، مضروبة في مشتقة الداخل.
الخطوة الأولى هي تمييز الطبقات: ما هو الداخل، وما هو الخارج.
مشتقة الخارج تُحسب بقاعدته المعتادة ثم يُعاد تركيب الداخل كما هو.
قوة داخل دالة: الأس ينزل، ويُنقص بواحد، ويُضرب في مشتقة الأساس.
التدوين يختصرها: مشتقة الدالة على مشتقة المتغيّر، فتُضرب المشتقات المتتابعة.
خامسًا: التحقق والأخطاء الشائعة
أعد المشتقة إلى صيغتها الأصلية بالتكامل، أو قارنها بميل محسوب عدديًا عند نقطة.
نسيان ضرب مشتقة الداخل أشهر خطأ في قاعدة السلسلة.
توزيع المشتقة على الجداء خطأ: الجداء ليس مشتقة كل عامل على حدة.
إسقاط الثابت الجمعي يُنسى، وترك الثابت الضربي داخل الصيغة يُحدث خطأ مضاعفًا.
العلامات في دوال جيب التمام والظل العكسي تحتاج مراجعة بعد كل اشتقاق.
الشكل التوضيحي للدرس
الشكل ١: من القاطع إلى المماس، ومن المركبة إلى مشتقتها
مثال محلول خطوة بخطوة
أوجد مشتقة الدالة: (اثنان س زائد واحد) أس ثلاثة، ثم أوجد ميل المماس عند س يساوي واحد.
- الداخل هو اثنان س زائد واحد، والخارج هو التكعيب.
- مشتقة الخارج عند الداخل: ثلاثة في (اثنان س زائد واحد) أس اثنين.
- مشتقة الداخل تساوي اثنين، لأنها كثيرة حدود معاملها اثنان.
- بالضرب حسب قاعدة السلسلة: ستة في (اثنان س زائد واحد) أس اثنين.
- عند واحد: ستة في ثلاثة تربيع، أي ستة في تسعة.
الجواب: المشتقة: ستة في (اثنان س زائد واحد) أس اثنين، والميل عند واحد يساوي خمسة وأربعين.
أخطاء شائعة في اختبار التحصيلي
- اشتقاق الخارج ونسيان ضرب مشتقة الداخل.
- معاملة الجداء كأنه حاصل ضرب المشتقتين.
- نقصان الأس في قاعدة القوة دون إنزاله معاملًا.
- إهمال الإشارة السالبة في مشتقة جيب التمام.
- تبسيط التعبير بعد الاشتقاق بخطأ في فك الأقواس.
- استعمال قاعدة الخصوصية لدالة يمكن تبسيطها جبريًا أولًا.