تحت درس 6-2-2: التكامل المحدد ونظرية التفاضل والتكامل
مقدمة الدرس
هذا درس فرعي تابع لدرس الاشتقاق والتكامل، ويغطي: التكامل المحدد ونظرية التفاضل والتكامل.
يتضمن 50 سؤالًا متنوعة المستوى بين المتوسط والصعب العالي، منها أسئلة مبنية على رسومات أصلية.
التكامل المحدد يجمع مقدارًا لا نهائي الصغر على فترة، ونتيجته عدد لا دالة. ونظرية التفاضل والتكامل تربطه بالمشتقة، فتحوّل حساب المساحات إلى إيجاد دالة عكسية للاشتقاق.
أولًا: من المجموع إلى التكامل
مجموع ريمان يقسم الفترة إلى مستطيلات متساوية العرض، ويجمع ارتفاعات مقَيّمة عند نقاط الاختيار.
بزيادة عدد المستطيلات ونقصان عرضها يقترب المجموع من قيمة ثابتة هي التكامل المحدد.
عرض كل شريحة يساوي طول الفترة على عددها، وهو ما يظهر معاملًا في المجموع.
اختيار نقطة التقييم يغيّر التقريب، ولا يغيّر الحد النهائي للدوال المتصلة.
حدّا التكامل يحددان الفترة: الأسفل نقطة البدء والأعلى نقطة الانتهاء.
ثانيًا: التفسير بالمساحة
التكامل المحدد للدالة الموجبة هو المساحة تحت المنحنى فوق المحور.
حيث تكون الدالة سالبة يُحسب التكامل سالبًا، فتمثل المساحة مع إشارة معاكسة.
التكامل من أ إلى ب زائد التكامل من ب إلى ج يساوي التكامل من أ إلى ج.
عكس الحدين يقلب إشارة التكامل، والتكامل من عدد إلى نفسه يساوي صفرًا.
المساحة بين منحنيين تُحسب بتكامل الأعلى ناقص الأدنى على فترة التقاطع.
ثالثًا: النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل
الدالة المجمعة التي حدّها الأعلى متغيّر هي دالة، ومشتقتها تساوي قيمة الدالة الأصلية عند ذلك الحد.
تكامل دالة على فترة يساوي فرق قيم الدالة عكسية المشتقة عند الحدّين.
لذلك يكفي إيجاد ما يشتق إلى الدالة المطلوبة، ثم التعويض بالطرفين والطرخ.
الثابت الإضافي في الدالة العكسية يسقط عند الطرح، فلا يؤثر على النتيجة.
النظرية تُطبَّق عندما تكون الدالة متصلة على الفترة كلها.
رابعًا: خواص تُختصر بها الحسابات
الطرح على التكامل يخرج الثابت مضروبًا خارجه.
تكامل الجمع يساوي جمع التكاملات على الفترة نفسها.
الدالة الزوجية على فترة متناظرة تُعطي ضعف التكامل على نصفها، والفردية تُعطي صفرًا.
تكامل واحد على الفترة يساوي طولها، وهو المرجع في حساب المتوسط.
متوسط قيمة الدالة على فترة هو التكامل مقسومًا على طول الفترة.
خامسًا: تطبيقات واختبارات سريعة
متوسط درجة الحرارة أو التركيز على فترة يُحسب من نفس قانون المتوسط.
الإزاحة من معدل التغير هي تكامله المحدد على الفترة الزمنية.
قبل الحساب ارسم المنطقة وتأكد أي المنحنيين أعلى منهما.
إذا ظهر التكامل سالبًا لمنطقة تعرف أنها مساحة، فحدّا التكامل مقلوبان.
التحقق السريع: اشتق الدالة العكسية، فيجب أن ترجع إلى الدالة الأصلية.
الشكل التوضيحي للدرس
الشكل ١: المساحة بالتجميع، والارتفاع بالمشتقة
مثال محلول خطوة بخطوة
أوجد التكامل المحدد للدالة: تسعة ناقص س تربيع، من صفر إلى ثلاثة.
- الدالة عكسية المشتقة هي: تسعة س ناقص س مكعب على ثلاثة.
- بالتعويض عن الحد الأعلى: سبعة وعشرون ناقص تسعة، أي ثمانية عشر.
- بالتعويض عن الحد الأدنى صفر تكون القيمة صفرًا.
- الفرق بين القيمتين هو ثمانية عشر ناقص صفر.
- الوحدة هنا وحدة مربعة لأن التكامل يمثّل مساحة تحت المنحنى.
الجواب: التكامل المحدد يساوي ثمانية عشر وحدة مربعة، وهو المساحة المحصورة بين المنحنى والمحور الأفقي على الفترة.
أخطاء شائعة في اختبار التحصيلي
- نسيان الثابت ثم محاولة تحديده عند التعويض بالطرفين.
- عكس حدود التكامل ثم إهمال تغيير الإشارة.
- حساب مساحة منطقة فيها الدالة سالبة وإعلان الناتج موجبًا.
- تطبيق النظرية على دالة غير متصلة داخل الفترة.
- أخذ الفرق بين الدالتين بغير ترتيب في المساحة بين منحنيين.
- اعتبار التكامل المحدد دالة بدل أن يكون عددًا.