الشكل ١: الأعداد الحقيقية والعلاقات والدوال
تُعدّ الدوال لغةَ الرياضيات في وصف العلاقة بين كميتين، وهي من أكثر موضوعات اختبار التحصيلي تكرارًا. في هذا الدرس نراجع مجموعات الأعداد الحقيقية، ثم نميّز بين العلاقة والدالة، ونتعلم إيجاد المجال والمدى، وقراءة التمثيل البياني، والتحويلات الهندسية على الدوال الرئيسة، والعمليات على الدوال وتركيبها.
أولًا: مجموعات الأعداد الحقيقية
| المجموعة | الرمز | أمثلة |
|---|---|---|
| الأعداد الطبيعية | N | 1، 2، 3، … |
| الأعداد الكلية | W | 0، 1، 2، 3، … |
| الأعداد الصحيحة | Z | …، -2، -1، 0، 1، 2، … |
| الأعداد النسبية | Q | كل عدد يُكتب على الصورة a/b حيث b ≠ 0، مثل 0.75 و -3/5 و 0.333… |
| الأعداد غير النسبية | I | كسور عشرية غير منتهية وغير دورية، مثل √2 و π |
| الأعداد الحقيقية | R | اتحاد النسبية وغير النسبية |
لاحظ التسلسل: N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R، بينما مجموعة الأعداد غير النسبية I منفصلة تمامًا عن Q. العدد √16 = 4 عدد طبيعي رغم وجود رمز الجذر، أما √5 فغير نسبي.
طرق كتابة المجموعات
- الصفة المميزة: {x | x > -2, x ∈ R} وتُقرأ: مجموعة الأعداد الحقيقية الأكبر من -2.
- رمز الفترة: (-2, ∞). القوس ( أو ) يعني أن الطرف غير داخل، والقوس [ أو ] يعني أنه داخل. اللانهاية تأخذ دائمًا قوسًا مفتوحًا.
مثال: المتباينة -1 ≤ x < 5 تكتب بالفترة [-1, 5).
ثانيًا: العلاقة والدالة
العلاقة مجموعة من الأزواج المرتبة (x, y). مجموعة الإحداثيات الأولى تسمى المجال، ومجموعة الإحداثيات الثانية تسمى المدى.
الدالة علاقة يرتبط فيها كل عنصر من المجال بعنصر واحد فقط من المدى. أي لا يتكرر الإحداثي x مع قيمتين مختلفتين للإحداثي y.
اختبار الخط الرأسي
يمثل المنحنى دالةً إذا لم يقطعه أي خط رأسي في أكثر من نقطة واحدة. في الشكل: القطع المكافئ y = x2 - 2 دالة، أما الدائرة فليست دالة لأن الخط الرأسي x = 1 يقطعها في نقطتين.
المجال الضمني للدالة
إذا لم يُذكر المجال فهو أكبر مجموعة من الأعداد الحقيقية تجعل قاعدة الدالة معرّفة، ونستبعد:
- القيم التي تجعل المقام صفرًا.
- القيم التي تجعل ما تحت الجذر التربيعي سالبًا.
الحل: المقام x2 - 9 = (x - 3)(x + 3) يساوي صفرًا عند x = 3 أو x = -3.
إذن المجال: {x | x ≠ 3, x ≠ -3, x ∈ R}.
ثالثًا: قيمة الدالة وأنواع خاصة من الدوال
لإيجاد f(a) نعوّض x = a في قاعدة الدالة.
الحل: f(-2) = (-2)2 - 3(-2) + 1 = 4 + 6 + 1 = 11.
- الدالة المتعددة التعريف: تُعرَّف بأكثر من قاعدة، لكل قاعدة جزء من المجال. مثلًا: f(x) = 2x إذا كانت x < 1، و f(x) = x + 4 إذا كانت x ≥ 1؛ فتكون f(0) = 0 و f(1) = 5.
- دالة القيمة المطلقة: f(x) = |x|، ومنحناها على شكل حرف V رأسه عند نقطة الأصل.
- دالة أكبر عدد صحيح (الدرجية): f(x) = [[x]] وتعطي أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي x، فمثلًا [[3.7]] = 3 و [[-1.2]] = -2.
رابعًا: تحليل التمثيل البياني
- المقطع الصادي: نقطة تقاطع المنحنى مع محور y، ونجده بحساب f(0).
- أصفار الدالة (المقاطع السينية): قيم x التي تجعل f(x) = 0.
- التزايد والتناقص: تكون الدالة متزايدة على فترة إذا ارتفع المنحنى كلما تحركنا يمينًا، ومتناقصة إذا انخفض.
- التماثل: الدالة زوجية إذا كان f(-x) = f(x) لكل x، ومنحناها متماثل حول محور y. والدالة فردية إذا كان f(-x) = -f(x)، ومنحناها متماثل حول نقطة الأصل.
الحل: f(-x) = (-x)3 - 4(-x) = -x3 + 4x = -(x3 - 4x) = -f(x). إذن الدالة فردية، ومنحناها متماثل حول نقطة الأصل.
خامسًا: الدوال الرئيسة والتحويلات
الدوال الرئيسة (الأم) أبسط صور عائلات الدوال: الثابتة y = c، والمحايدة y = x، والتربيعية y = x2، والتكعيبية y = x3، والجذرية y = √x، والمقلوب y = 1/x، والقيمة المطلقة y = |x|.
| الصورة | التحويل (h, k > 0) |
|---|---|
| f(x) + k | انسحاب إلى أعلى k وحدة |
| f(x) - k | انسحاب إلى أسفل k وحدة |
| f(x - h) | انسحاب إلى اليمين h وحدة |
| f(x + h) | انسحاب إلى اليسار h وحدة |
| -f(x) | انعكاس حول محور x |
| f(-x) | انعكاس حول محور y |
| a·f(x) | توسع رأسي إذا a > 1، وتضييق (انكماش) رأسي إذا 0 < a < 1 |
في الشكل التالي نحصل على y = (x - 2)2 + 1 بسحب منحنى y = x2 وحدتين يمينًا ووحدة إلى أعلى، فينتقل الرأس من (0, 0) إلى (2, 1).
سادسًا: العمليات على الدوال وتركيبها
- (f + g)(x) = f(x) + g(x) ، (f - g)(x) = f(x) - g(x) ، (f·g)(x) = f(x)·g(x)
- (f / g)(x) = f(x) / g(x) بشرط g(x) ≠ 0.
- التركيب: (f ∘ g)(x) = f(g(x))، أي نطبّق g أولًا ثم f على الناتج.
الحل: (f ∘ g)(3) = f(g(3)) = f(9) = 2(9) + 1 = 19.
(g ∘ f)(3) = g(f(3)) = g(7) = 49.
لاحظ أن الناتجين مختلفان، فالتركيب ليس إبداليًا بوجه عام.
ومجال الدالة المركبة f ∘ g يتكون من قيم x الموجودة في مجال g والتي تقع صورها g(x) في مجال f. أما مجال مجموع دالتين أو فرقهما أو حاصل ضربهما فهو تقاطع مجاليهما، ونستبعد في القسمة أيضًا أصفار المقام.
خدع شائعة
- الخلط بين f(x - h) و f(x) - h: الأول انسحاب أفقي (عكس الإشارة: x - 2 تعني يمينًا)، والثاني انسحاب رأسي.
- الظن أن العلاقة ليست دالة إذا تكرر y؛ التكرار المرفوض هو تكرار x بقيمتين مختلفتين لـ y، أما {(1, 5), (2, 5)} فهي دالة.
- عكس ترتيب التركيب: في f(g(x)) نبدأ بالدالة الداخلية g.
- نسيان أن [[x]] للأعداد السالبة يتجه نحو الأصغر: [[-2.5]] = -3 وليس -2.
- نسيان استبعاد أصفار المقام عند تحديد المجال.
الخلاصة
- N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R، والأعداد غير النسبية كسور عشرية غير منتهية وغير دورية.
- الدالة: كل x يرتبط بقيمة واحدة فقط لـ y، ويُختبر بيانيًا باختبار الخط الرأسي.
- المجال يستبعد أصفار المقام والقيم التي تجعل ما تحت الجذر التربيعي سالبًا.
- زوجية: f(-x) = f(x) وتماثل حول محور y، فردية: f(-x) = -f(x) وتماثل حول الأصل.
- y = a·f(x - h) + k: انسحاب أفقي h، ورأسي k، وتمدد أو انعكاس حسب a.
- (f ∘ g)(x) = f(g(x)) ونبدأ دائمًا بالدالة الداخلية.