Dabour Hubأكاديمية دكتور دبور · قدرات وتحصيلي
الرئيسية/الكورسات/التحصيلي — الرياضيات/التوازي والتعامد
DABOUR HUB / LESSON

التوازي والتعامد

المسار: التحصيلي — الرياضياتالوحدة 1: المنطق والهندسة8 أقسام
اختبر فهمك ←

مقدمة الدرس

التوازي والتعامد من أكثر موضوعات الهندسة حضورًا في التحصيلي، وتأتي أسئلته في صورتين:

هندسية

  • تعتمد على الزوايا الناتجة عن قاطع لمستقيمين متوازيين

إحداثية

  • تعتمد على الميل ومعادلة المستقيم

أولًا: علاقات المستقيمات والمستويات

المستقيمان المتوازيانيقعان في مستوى واحد ولا يتقاطعان مهما امتدا، ونكتب ℓ ∥ m.
المستقيمان المتعامدانيتقاطعان مكوّنين زوايا قائمة، ونكتب ℓ ⊥ m.
المستقيمان المتخالفانلا يتقاطعان ولا يقعان في مستوى واحد، ويظهران كثيرًا في المجسمات كالمكعب.
المستويان المتوازيانلا يتقاطعان، مثل الوجهين العلوي والسفلي للمكعب.

ثانيًا: الزوايا الناتجة عن قاطع

القاطع مستقيم يقطع مستقيمين أو أكثر في نقاط مختلفة، فتنتج ثماني زوايا كما في الشكل:

مستقيمان متوازيان يقطعهما قاطع وتظهر الزوايا الثماني مرقمة

نوع الزوجينأمثلة من الشكلالعلاقة عند التوازي
متناظرتان1 و 5، 2 و 6، 3 و 7، 4 و 8متطابقتان
متبادلتان داخليًا3 و 6، 4 و 5متطابقتان
متبادلتان خارجيًا1 و 8، 2 و 7متطابقتان
داخليتان في جهة واحدة (متحالفتان)3 و 5، 4 و 6متكاملتان (مجموعهما 180°)
  • علاقات التقابل بالرأس (1 و 4) والتجاور على مستقيم (1 و 2) صحيحة دائمًا حتى لو لم يكن المستقيمان متوازيين؛ ولذلك لا تصلح لإثبات التوازي.

إثبات التوازي

المستقيمان متوازيان إذا تحقق أحد الشروط الآتية:

  • تطابق زاويتين متناظرتين.
  • تطابق زاويتين متبادلتين داخليًا أو متبادلتين خارجيًا.
  • تكامل زاويتين داخليتين في جهة واحدة.
  • تعامد المستقيمين على مستقيم ثالث في المستوى نفسه.
نظرية القاطع العموديإذا كان مستقيم عموديًا على أحد مستقيمين متوازيين فإنه عمودي على الآخر.

ثالثًا: الميل

الميلm = (y2 − y1) ÷ (x2 − x1)للمستقيم المار بالنقطتين (x1, y1) و (x2, y2).

موجب

  • المستقيم صاعد

سالب

  • المستقيم هابط

صفر

  • المستقيم أفقي

غير معرّف

  • المستقيم رأسي

التوازي

  • m1 = m2 (للمستقيمات غير الرأسية)

التعامد

  • m1 × m2 = −1
  • الميل الثاني مقلوب الأول مع تغيير الإشارة

رابعًا: معادلة المستقيم

صيغة الميل والمقطعy = mx + bb المقطع الصادي.
صيغة الميل ونقطةy − y1 = m(x − x1)m الميل و (x1, y1) نقطة على المستقيم.
الصورة العامةax + by = cميلها −a ÷ b.

خامسًا: المسافة بين مستقيمين متوازيين

المسافة بين مستقيمين متوازيينطول القطعة العمودية عليهما.

أفقيان y = a و y = b

  • المسافة |a − b|

رأسيان x = a و x = b

  • المسافة |a − b|

مائلان

  • نأخذ نقطة من أحدهما ونحسب بعدها عن الآخر
بعد نقطة عن مستقيم|ax0 + by0 + c| ÷ √(a2 + b2)بعد النقطة (x0, y0) عن المستقيم ax + by + c = 0.
مثال محلول 1

قطع قاطعٌ مستقيمين متوازيين، فكانت زاويتان داخليتان في جهة واحدة قياساهما (4x + 20)° و (2x + 40)°. أوجد x.

  1. المتحالفتان متكاملتان: 6x + 60 = 180.
  2. x = 20، فالزاويتان 100° و 80°.
الإجابة: x = 20.
مثال محلول 2

أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة (4, 1) والعمودي على المستقيم 3x − 6y = 2.

  1. نكتب المعادلة: y = (1/2)x − 1/3، فالميل 1/2.
  2. ميل العمودي −2.
  3. نعوّض: 1 = −2(4) + b ⇐ b = 9.
الإجابة: y = −2x + 9.
مثال محلول 3

هل المستقيم المار بـ (1, 3) و (3, 7) يوازي المستقيم المار بـ (0, −2) و (2, 2)؟

  1. الميل الأول (7 − 3) ÷ (3 − 1) = 2، والثاني (2 + 2) ÷ (2 − 0) = 2.
  2. الميلان متساويان والمقطعان مختلفان (الأول يقطع y عند 1 والثاني عند −2).
الإجابة: نعم، متوازيان.
مثال محلول 4

مستقيمان متوازيان ℓ و m، ونقطة P بينهما، وُصلت بنقطة A على ℓ وبنقطة B على m. الزاوية بين AP و ℓ تساوي 30°، وبين BP و m تساوي 45°، والزاويتان في جهة واحدة. أوجد قياس الزاوية APB.

  1. نرسم من P مستقيمًا ثالثًا يوازي ℓ و m، فتنقسم الزاوية APB إلى جزأين.
  2. الجزء العلوي يبادل الزاوية 30° داخليًا فيساويها، والسفلي يبادل الزاوية 45° فيساويها.
  3. هذه الفكرة (رسم مستقيم مساعد موازٍ) تحل أغلب أسئلة الزوايا بين مستقيمين متوازيين.
الإجابة: 30 + 45 = 75°.

استراتيجية الحل في الاختبار

أسئلة الزوايا بين متوازيين

القاعدة السريعةكل زاويتين حادتين في الشكل متطابقتان، وكل زاويتين منفرجتين متطابقتان، وأي زاوية حادة مع أي منفرجة مجموعهما 180°.

الزاويتان من النوع نفسه

  • ساوِ بينهما

الزاويتان مختلفتان

  • اجعل مجموعهما 180°

أسئلة الميل ومعادلة المستقيم

  1. حوّل المعادلةإلى الصورة y = mx + b.
  2. قارن الميلينالتساوي يعني التوازي، وحاصل الضرب −1 يعني التعامد، وغير ذلك يعني تقاطعًا دون تعامد.
  3. لإيجاد معادلةحدد الميل المناسب أولًا ثم عوّض بالنقطة المعطاة لإيجاد المقطع الصادي.
  4. تحققبالتعويض بالنقطة في المعادلة التي حصلت عليها.

خدع شائعة

  • ميل العمودي ليس سالب الميل فقط بل مقلوبه أيضًا: عمودي الميل 3 ميله −1/3 وليس −3.
  • الزاويتان المتحالفتان متكاملتان وليستا متطابقتين.
  • عند الصورة ax + by = c لا تأخذ معامل x ميلًا مباشرة؛ حوّل إلى y = mx + b أولًا.
  • المسافة بين y = x + 3 و y = x − 1 ليست 4؛ فالفرق الرأسي لا يساوي المسافة العمودية للمستقيمات المائلة.
  • المستقيمان المتخالفان غير متقاطعين لكنهما ليسا متوازيين.

الخلاصة

  • عند التوازي: المتناظرة والمتبادلة (داخليًا وخارجيًا) متطابقة، والمتحالفة متكاملة.
  • عكس هذه النظريات يستعمل لإثبات التوازي.
  • الميل = فرق الصادات ÷ فرق السينات؛ الأفقي صفر والرأسي غير معرّف.
  • التوازي: تساوي الميلين. التعامد: حاصل ضرب الميلين = −1.
  • المسافة بين متوازيين تقاس على العمود المشترك.

اختبر فهمك لهذا الدرس

29 سؤالًا — سؤال واحد في كل مرة، 10 ثوانٍ لكل سؤال، والتصحيح والتقرير بعد آخر سؤال.

ابدأ الاختبار ←

تدريبات إضافية على هذا الدرس

✎تدريب 1-2-1: الزوايا الناتجة من تقاطع مستقيمين متوازيينتدريب تفاعلي — يفتح في نفس الصفحة27 سؤالًا✎تدريب 1-2-2: ميل المستقيم ومعادلته والتعامدتدريب تفاعلي — يفتح في نفس الصفحة34 سؤالًا

مراجعة الوحدة

★مراجعة الوحدة 1: المنطق والهندسة — اختبار شاملالوحدة 1: المنطق والهندسة40 سؤالًا

تحدَّ نفسك: أسئلة مبتكرة على هذا الدرس

5 أسئلة بصيغ متنوعة على نمط الاختبار (جدول، خطوة خاطئة، سياق حياتي، «عدا»…) مبنية على محتوى هذا الدرس فقط، مع التفسير وسبب خطأ كل خيار.

1
كل ما يلي صحيح عدا

قطع قاطع مستقيمين متوازيين. كل ما يلي صحيح عدا:

2
متعدد الخطوات

ما معادلة المستقيم المار بالنقطة (2, 3) والعمودي على المستقيم y = 2x + 5؟

3
سياق حياتي

منحدر لذوي الإعاقة عند مدخل مسجد يرتفع 0.5 m عبر مسافة أفقية طولها 6 m. ما ميل المنحدر؟

4
مقارنة كمية

القيمة الأولى: ميل المستقيم 3x + 6y = 12
القيمة الثانية: ميل المستقيم المار بالنقطتين (1, 4) و (3, 3)

5
تطبيق قانون — فخ شائع

ما المسافة بين المستقيمين المتوازيين y = 2x + 1 و y = 2x + 6؟