Dabour Hubأكاديمية دكتور دبور · قدرات وتحصيلي
الرئيسية/الكورسات/القدرات — الكمي/الدائرة
DABOUR HUB / LESSON

الدائرة

المسار: القدرات — الكميالوحدة 3: الهندسة8 أقسام
اختبر فهمك ←

مقدمة الدرس

الدائرة موضوع ثابت في القسم الكمي، وأسئلتها نوعان:

أسئلة قياس

  • المحيط والمساحة
  • طول القوس ومساحة القطاع
  • المناطق المظللة

أسئلة زوايا

  • الزاوية المركزية والمحيطية
  • المماس
فكرة مهمةمعظم الإجابات تُترك بدلالة π، فلا تستعجل التعويض بقيمة π إلا إذا ظهرت الأعداد العشرية في الخيارات.

أولًا: عناصر الدائرة

دائرة يظهر فيها المركز ونصف القطر والقطر والوتر والمماس

نصف القطر (نق)قطعة تصل المركز بأي نقطة على الدائرة.
القطروتر يمر بالمركز، طوله = 2 × نق، وهو أطول وتر في الدائرة.
الوترقطعة طرفاها على الدائرة. العمود النازل من المركز على الوتر ينصفه.
المماسمستقيم يلمس الدائرة في نقطة واحدة، ويكون عموديًا على نصف القطر عند نقطة التماس.

ثانيًا: القوانين الأساسية

المطلوبالقانون
المحيط2 × π × نق = π × القطر
المساحةπ × نق2
طول القوس(الزاوية المركزية ÷ 360) × 2π نق
مساحة القطاع(الزاوية المركزية ÷ 360) × π نق2
محيط نصف الدائرة (الشكل المغلق)π نق + 2 نق
  • قيمة π: تقريبًا 3.14 أو 22 ÷ 7. استخدم 22 ÷ 7 إذا كان نصف القطر من مضاعفات 7.
الحل السريعإذا تضاعف نصف القطر ك مرة، تضاعف المحيط ك مرة وتضاعفت المساحة ك2 مرة.
المساحة 49πنق = 7المحيط 14π

ثالثًا: زوايا الدائرة

زاوية مركزية ضعف الزاوية المحيطية المشتركة معها في القوس

الزاوية المركزية

  • رأسها المركز
  • قياسها = قياس القوس المقابل

الزاوية المحيطية

  • رأسها على الدائرة
  • قياسها = نصف المركزية المشتركة معها في القوس نفسه
  • الزوايا المحيطية المرسومة على القوس نفسه متساوية.
  • الزاوية المحيطية المرسومة على قطر (في نصف دائرة) = 90°.
  • الرباعي الدائري (رؤوسه الأربعة على الدائرة): كل زاويتين متقابلتين مجموعهما 180°.
  • المماسان من نقطة خارجية متساويان في الطول، والزاوية بينهما + الزاوية المركزية بين نصفي القطرين = 180°.

أمثلة محلولة

مثال محلول 1

دائرة محيطها 18π سم. ما مساحتها؟

  1. 2π نق = 18π ← نق = 9.
  2. المساحة = π × 81.
الإجابة: 81π سم2.
مثال محلول 2

قطاع دائري زاويته 45° ونصف قطر دائرته 8 سم. أوجد طول قوسه ومساحته.

  1. 45 ÷ 360 = 1/8.
  2. طول القوس = (1/8) × 16π = 2π سم.
  3. المساحة = (1/8) × 64π = 8π سم2.
الإجابة: 2π سم، و 8π سم2.
مثال محلول 3

زاوية محيطية قياسها 65° مرسومة على القوس AB. ما قياس الزاوية المركزية AOB المرسومة على القوس نفسه؟

  1. المركزية = 2 × المحيطية.
الإجابة: 130°.
مثال محلول 4

من نقطة P خارج دائرة نصف قطرها 6 سم رُسم مماس يمس الدائرة في A، وكان PA = 8 سم. ما بُعد P عن المركز O؟

  1. المثلث OAP قائم في A لأن المماس عمودي على نصف القطر.
  2. OP2 = 36 + 64 = 100 (مضاعف الثلاثية 3، 4، 5).
الإجابة: OP = 10 سم.

المناطق المظللة

القاعدة الذهبيةالمساحة المظللة = مساحة الشكل الكبير − مساحة الشكل غير المظللتصلح لكل أسئلة المناطق المظللة.
مثال

دائرة نصف قطرها 3 داخل مربع يمسه من الداخل.

  1. ضلع المربع = 6، ومساحته 36.
  2. مساحة الدائرة = 9π.
الإجابة: المنطقة بينهما = 36 − 9π.

أنماط متكررة في الاختبار وطريقة التعامل معها

  1. من معطى إلى آخرإذا أُعطيت المساحة أو المحيط فاستخرج نصف القطر أولًا، فهو مفتاح كل قوانين الدائرة.
  2. زاوية محيطية ومركزيةابحث عن القوس المشترك بينهما، ثم اضرب أو اقسم على 2.
  3. مماس ونصف قطرارسم نصف القطر إلى نقطة التماس لتحصل على زاوية قائمة، ثم طبّق فيثاغورس.
  4. قطاع وقوسحوّل الزاوية إلى كسر من 360 (90° = ¼، 120° = ⅓، 60° = ⅙، 45° = ⅛) ثم اضرب.
  5. مربع ودائرةالدائرة داخل المربع: قطرها = ضلع المربع. المربع داخل الدائرة: قطر المربع = قطر الدائرة.
نصيحةإذا احتوت الخيارات على π فلا تعوض بقيمتها، واترك الناتج بدلالة π لتوفير الوقت وتجنب أخطاء الضرب.
مثال محلول 5

قطاع دائري زاويته 60° ونصف قطره 12 سم. ما محيط القطاع (القوس مع نصفي القطرين)؟

  1. طول القوس = ⅙ × 2π × 12 = 4π سم.
  2. المحيط = 4π + 12 + 12. لا تنسَ نصفي القطرين.
الإجابة: 4π + 24 سم.
مثال محلول 6

دائرة طول قطرها 20 سم، رُسم فيها وتر طوله 16 سم. ما بُعد الوتر عن المركز؟

  1. نصف القطر = 10، والعمود من المركز ينصف الوتر فيكون نصفه 8.
  2. البعد2 = 102 − 82 = 36.
  3. لاحظ الثلاثية (6، 8، 10) التي تختصر الحساب.
الإجابة: البعد = 6 سم.
مثال محلول 7

دائرتان نصفا قطريهما 2 سم و 6 سم. ما النسبة بين مساحتيهما؟

  1. نسبة أنصاف الأقطار 1 : 3.
  2. نسبة المساحات مربعها 1 : 9، أما نسبة المحيطين فتبقى 1 : 3.
الإجابة: 1 : 9. احفظ أن المحيط يتبع نصف القطر مباشرة والمساحة تتبع مربعه.

خدع شائعة

  • استخدام القطر مكان نصف القطر في قانون المساحة. إذا أُعطي القطر فاقسمه على 2 أولًا.
  • جعل الزاوية المحيطية ضعف المركزية؛ الصحيح أن المركزية هي الضعف.
  • نسيان إضافة القطر عند حساب محيط نصف دائرة مغلقة (القوس وحده = π نق).
  • الظن أن زيادة نصف القطر 10% تزيد المساحة 10%؛ الصحيح أنها تزيد 21%.
  • نسيان أن المماس يصنع زاوية قائمة مع نصف القطر، وهي مفتاح استخدام فيثاغورس.

الخلاصة

  • المحيط = 2π نق، والمساحة = π نق2.
  • طول القوس ومساحة القطاع = (الزاوية ÷ 360) × المحيط أو المساحة.
  • المحيطية = نصف المركزية، والمحيطية على قطر = 90°.
  • المماس ⊥ نصف القطر، والمماسان من نقطة خارجية متساويان.
  • الرباعي الدائري: المتقابلتان مجموعهما 180°.
  • المظلل = الكل − غير المظلل.

اختبر فهمك لهذا الدرس

20 سؤالًا — سؤال واحد في كل مرة، 10 ثوانٍ لكل سؤال، والتصحيح والتقرير بعد آخر سؤال.

ابدأ الاختبار ←

تدريبات إضافية على هذا الدرس

✎تدريب 3-4-1: محيط الدائرة ومساحتها والقطاعاتتدريب تفاعلي — يفتح في نفس الصفحة17 سؤالًا✎تدريب 3-4-2: الأوتار والمماسات والزواياتدريب تفاعلي — يفتح في نفس الصفحة11 سؤالًا

مراجعة الوحدة

★مراجعة الوحدة 3: الهندسة — اختبار شاملالوحدة 3: الهندسة34 سؤالًا

تحدَّ نفسك: أسئلة مبتكرة على هذا الدرس

5 أسئلة بصيغ متنوعة على نمط الاختبار (جدول، خطوة خاطئة، سياق حياتي، «عدا»…) مبنية على محتوى هذا الدرس فقط، مع التفسير وسبب خطأ كل خيار.

1
مسألة متعددة الخطوات

دائرة محيطها 10π سم. ما مساحتها؟

2
فخ الوحدات (سياق)

عجلة دراجة نصف قطرها 35 سم. كم مترًا تقطع في 100 دورة؟ (π ≈ 22/7)

3
الزاوية المركزية والمحيطية

زاوية مركزية قياسها 110° تقابل قوسًا. ما قياس الزاوية المحيطية المرسومة على القوس نفسه؟

4
مساحة مظللة

مربع رؤوسه الأربعة على دائرة نصف قطرها 4 سم. ما مساحة الجزء من الدائرة الواقع خارج المربع؟

5
مقارنة كمية

دائرة نصف قطرها نق. القيمة الأولى: محيطها ، القيمة الثانية: مساحتها