الرئيسية/الكورسات/التحصيلي — الرياضيات/الدوال المثلثية وقياس الزوايا

DABOUR HUB / LESSON

الدوال المثلثية وقياس الزوايا

المسار: التحصيلي — الرياضياتالوحدة 4: حساب المثلثات7 أقسام

اختبر فهمك ←

مقدمة الدرس

تُعدّ الدوال المثلثية من أكثر موضوعات الرياضيات حضورًا في الاختبار التحصيلي.

أهميتها
- تربط بين قياسات الزوايا وأطوال الأضلاع.
- تظهر في مسائل الارتفاع والمسافات والحركة الدورية.

المثلث القائمتعميم التعريف على أي زاوية بدائرة الوحدةقانونا الجيوب وجيوب التمامالتمثيل البياني

أولًا: الدوال المثلثية في المثلث القائم

نسمّي أضلاع المثلث القائم بالنسبة إلى زاوية حادة θ:

الوترالمقابل للزاوية القائمة

المقابلالمقابل للزاوية θ

المجاورالمجاور للزاوية θ

$مثلث قائم يوضح الوتر والضلع المقابل والضلع المجاور للزاوية θ$

الدالة	التعريف	مقلوبها
sin θ (الجيب)	المقابل ÷ الوتر	csc θ = الوتر ÷ المقابل
cos θ (جيب التمام)	المجاور ÷ الوتر	sec θ = الوتر ÷ المجاور
tan θ (الظل)	المقابل ÷ المجاور	cot θ = المجاور ÷ المقابل

قيم الزوايا الخاصة

θ	30° = π/6	45° = π/4	60° = π/3
sin θ	1/2	√2/2	√3/2
cos θ	√3/2	√2/2	1/2
tan θ	√3/3	1	√3

المثلث 30°-60°-90°

الضلع المقابل للزاوية 30° يساوي نصف الوتر.

المثلث 45°-45°-90°

الضلعان متساويان.
الوتر = الضلع × √2.

مثال محلول (1)

مثال محلول

راصد يقف على بعد 40 م من قاعدة مئذنة، ويرى قمتها بزاوية ارتفاع 45°. أوجد ارتفاع المئذنة.

الارتفاع هو الضلع المقابل، والبعد الأفقي هو المجاور.
tan 45° = الارتفاع ÷ 40
الارتفاع = 40 × 1

الإجابة: 40 م

زاوية الارتفاعالزاوية بين خط النظر إلى جسم أعلى من الراصد والخط الأفقي.

زاوية الانخفاضالزاوية بين الخط الأفقي وخط النظر إلى جسم أسفل الراصد.

فكرة مهمةزاويتا الارتفاع والانخفاض متساويتان بالتبادل عند التوازي؛ ونرسم مثلثًا قائمًا ونختار الدالة التي تربط المعلوم بالمطلوب.

ثانيًا: قياس الزوايا (الدرجات والراديان)

الوضع القياسيرأس الزاوية نقطة الأصل، وضلع ابتدائها على الجزء الموجب لمحور x.

الراديانقياس زاوية مركزية تقابل قوسًا طوله يساوي نصف قطر الدائرة. الدورة الكاملة = 360° = 2π راديان.

الزوايا المشتركة في ضلع الانتهاءنضيف أو نطرح مضاعفات 360° (أو 2π).

زاوية موجبة

يدور ضلع الانتهاء عكس اتجاه عقارب الساعة.

زاوية سالبة

يدور ضلع الانتهاء مع اتجاه عقارب الساعة.

من درجات إلى راديان

نضرب في π/180

من راديان إلى درجات

نضرب في 180/π

طول القوس ومساحة القطاعs = r θ ، م = ½ r² θبشرط أن تكون θ بالراديان

مثال محلول (2)

مثال محلول

دائرة نصف قطرها 15 سم، أوجد طول القوس المقابل لزاوية مركزية قياسها 120°.

نحوّل أولًا: 120 × π/180 = 2π/3
s = 15 × 2π/3

الإجابة: 10π سم

ثالثًا: الدوال المثلثية لأي زاوية ودائرة الوحدة

الدوال لأي زاويةsin θ = y/r ، cos θ = x/r ، tan θ = y/x(x, y) نقطة على ضلع انتهاء الزاوية θ، و r = √(x² + y²)

فكرة مهمةفي دائرة الوحدة (r = 1) تكون إحداثيات النقطة على الدائرة هي (cos θ , sin θ) مباشرة.

$دائرة الوحدة مع الزوايا الخاصة وإحداثيات نقاطها$

إشارات الدوال

الربع الأول

كل الدوال موجبة

الربع الثاني

الجيب فقط موجب

الربع الثالث

الظل فقط موجب

الربع الرابع

جيب التمام فقط موجب

الزاوية المرجعية θ′: الزاوية الحادة بين ضلع الانتهاء ومحور x
- في الربع الثاني θ′ = 180° − θ
- في الربع الثالث θ′ = θ − 180°
- في الربع الرابع θ′ = 360° − θ
قيمة الدالة = ± قيمتها للزاوية المرجعية، والإشارة حسب الربع.

مثال محلول (3)

مثال محلول

أوجد القيمة الدقيقة لـ cos 240°.

240° في الربع الثالث، والزاوية المرجعية 240° − 180° = 60°.
جيب التمام سالب في الربع الثالث، إذن cos 240° = −cos 60°.

الإجابة: −1/2

رابعًا: قانون الجيوب وقانون جيوب التمام

في أي مثلث ABC أضلاعه a و b و c المقابلة للزوايا A و B و C:

قانون الجيوبa / sin A = b / sin B = c / sin Cيُستعمل إذا علمنا زاويتين وضلعًا، أو ضلعين وزاوية غير محصورة

قانون جيوب التمامc² = a² + b² − 2ab cos Cيُستعمل إذا علمنا ضلعين والزاوية المحصورة، أو الأضلاع الثلاثة

مساحة المثلثالمساحة = ½ ab sin Cضلعان والزاوية المحصورة بينهما

الحالة الغامضة

زاوية حادة A وضلعان a و b: نحسب h = b sin A ثم نقارن:

a < h ⇐ لا يوجد مثلث.
a = h ⇐ مثلث قائم واحد.
h < a < b ⇐ مثلثان.
a ≥ b ⇐ مثلث واحد.

مثال محلول (4)

مثال محلول

مثلث فيه ضلعان طولاهما 3 سم و 5 سم والزاوية المحصورة بينهما 120°. أوجد طول الضلع الثالث.

c² = 9 + 25 − 2(3)(5) cos 120°
= 34 − 30 × (−½) = 34 + 15 = 49

الإجابة: c = 7 سم

خامسًا: التمثيل البياني للدوال المثلثية

$منحنيا دالتي الجيب وجيب التمام في الفترة من 0 إلى 2π$

y = a sin bx و y = a cos bx

السعة = |a|
طول الدورة = 2π/|b|
المدى [−|a| , |a|]

y = a tan bx

طول الدورة = π/|b|
لا سعة لها

منحنى الجيب يبدأ من الصفر صاعدًا، ومنحنى جيب التمام يبدأ من قيمته العظمى.
الإزاحة الرأسية y = a sin bx + k تنقل المنحنى k وحدة إلى أعلى، فيصبح المدى [k − |a| , k + |a|].

خدع شائعة

استعمال الدرجات في قانون طول القوس أو مساحة القطاع؛ يجب التحويل إلى الراديان أولًا.
نسيان إشارة الدالة حسب الربع عند استعمال الزاوية المرجعية.
كتابة السعة بإشارة سالبة؛ السعة دائمًا |a|.
الخلط بين دورة الجيب (2π/|b|) ودورة الظل (π/|b|).
في قانون جيوب التمام: cos الزاوية المنفرجة سالب، فيتحول الطرح إلى جمع.
الظن أن 1 راديان يساوي 1°؛ في الحقيقة 1 راديان ≈ 57.3°.

الخلاصة

sin = مقابل/وتر ، cos = مجاور/وتر ، tan = مقابل/مجاور، ومقلوباتها csc و sec و cot.
180° = π راديان؛ s = rθ و مساحة القطاع = ½ r²θ (θ بالراديان).
على دائرة الوحدة: النقطة (cos θ , sin θ)، والإشارة حسب الربع، والقيمة من الزاوية المرجعية.
قانون الجيوب للزاويتين والضلع، وقانون جيوب التمام للضلعين والزاوية المحصورة أو الأضلاع الثلاثة.
السعة |a|، ودورة الجيب وجيب التمام 2π/|b|، ودورة الظل π/|b|.

اختبر فهمك لهذا الدرس

23 سؤالًا — سؤال واحد في كل مرة، 10 ثوانٍ لكل سؤال، والتصحيح والتقرير بعد آخر سؤال.

ابدأ الاختبار ←

تدريبات إضافية على هذا الدرس

✎تدريب 4-1-1: قياس الزوايا بالدقائق والثواني والدائرةتدريب تفاعلي — يفتح في نفس الصفحة23 سؤالًا ✎تدريب 4-1-2: الدوال المثلثية على دائرة الوحدةتدريب تفاعلي — يفتح في نفس الصفحة29 سؤالًا ✎تدريب 4-2-2: قانونا الجيب وجيب التمام وحل المثلثتدريب تفاعلي — يفتح في نفس الصفحة15 سؤالًا

مراجعة الوحدة

★مراجعة الوحدة 4: حساب المثلثات — اختبار شاملالوحدة 4: حساب المثلثات35 سؤالًا

تحدَّ نفسك: أسئلة مبتكرة على هذا الدرس

5 أسئلة بصيغ متنوعة على نمط الاختبار (جدول، خطوة خاطئة، سياق حياتي، «عدا»…) مبنية على محتوى هذا الدرس فقط، مع التفسير وسبب خطأ كل خيار.

فخ الوحدات

ما قياس الزاوية 5π/6 rad بالدرجات؟

قراءة منحنى

ما سعة منحنى الدالة y = 3 sin 2x وطول دورته؟

سياق حياتي

يقف طالب على بعد 100 m من قاعدة برج في الرياض، فيرى قمته بزاوية ارتفاع 60°. ما ارتفاع البرج تقريبًا (بإهمال طول الطالب)؟

توصيل

في المثلث القائم ABC أطوال أضلاعه 3 و 4 و 5، والضلع المقابل للزاوية A طوله 3. صِل:
(أ) sin A (ب) cos A (ج) tan A
(1) 3/4 (2) 4/5 (3) 3/5

أي العبارات صحيحة

أي العبارات الآتية عن الزاوية 240° صحيحة؟