Dabour Hubأكاديمية دكتور دبور · قدرات وتحصيلي
الرئيسية/الكورسات/التحصيلي — الرياضيات/القطوع المخروطية
DABOUR HUB / LESSON

القطوع المخروطية

المسار: التحصيلي — الرياضياتالوحدة 5: الدوال المتقدمة والهندسة التحليلية8 أقسام
اختبر فهمك ←

مقدمة الدرس

القطوع المخروطية منحنيات تنتج عن تقاطع مستوى مع مخروط دائري قائم مزدوج.

أنواعها الأربعة

  • الدائرة
  • القطع المكافئ
  • القطع الناقص
  • القطع الزائد

استعمالاتها

  • تصميم أطباق الاستقبال
  • المصابيح الأمامية
  • مدارات الكواكب

المطلوب غالبًا في التحصيلي

  • تحديد نوع القطع من معادلته
  • إيجاد الرأس والبؤرة والدليل وخطوط التقارب
  • كتابة المعادلة من الرسم

أولًا: الدائرة

الدائرةمجموعة النقاط التي تبعد مسافة ثابتة r عن نقطة ثابتة (المركز).
الصورة القياسية للدائرة(x − h)2 + (y − k)2 = r2مركزها (h, k) ونصف قطرها r
فكرة مهمةإذا أُعطيت الصورة العامة x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 نُكمل المربع لكل من x و y.

ثانيًا: القطع المكافئ

القطع المكافئمجموعة النقاط التي يتساوى بعدها عن نقطة ثابتة (البؤرة) وعن مستقيم ثابت (الدليل).
pالمسافة الموجّهة من الرأس إلى البؤرة.

قطع مكافئ مفتوح لليمين يوضح الرأس والبؤرة والدليل وتساوي بعدي نقطة عليه عن البؤرة والدليل

المعادلةالاتجاهالبؤرةالدليل
(y − k)2 = 4p(x − h)أفقي (يمين إذا p > 0)(h + p, k)x = h − p
(x − h)2 = 4p(y − k)رأسي (أعلى إذا p > 0)(h, k + p)y = k − p
  • طول الوتر البؤري العمودي = |4p|.
  • محور التماثل يمر بالرأس والبؤرة.

ثالثًا: القطع الناقص

القطع الناقصمجموعة النقاط التي يكون مجموع بعديها عن بؤرتين ثابتتين مقدارًا ثابتًا يساوي 2a.

أفقي

  • (x − h)2/a2 + (y − k)2/b2 = 1

رأسي

  • (x − h)2/b2 + (y − k)2/a2 = 1
علاقة القطع الناقصc2 = a2 − b2a > b دائمًا، والبؤرتان تبعدان c عن المركز على المحور الأكبر
  • المقام الأكبر يحدد اتجاه المحور الأكبر.
  • طول المحور الأكبر 2a، وطول المحور الأصغر 2b.
  • الاختلاف المركزي e = c/a حيث 0 < e < 1؛ كلما اقترب من الصفر اقترب الشكل من الدائرة.

رابعًا: القطع الزائد

القطع الزائدمجموعة النقاط التي تكون القيمة المطلقة للفرق بين بعديها عن بؤرتين ثابتتين مقدارًا ثابتًا يساوي 2a.

أفقي

  • (x − h)2/a2 − (y − k)2/b2 = 1
  • خطا التقارب: y − k = ±(b/a)(x − h)

رأسي

  • (y − k)2/a2 − (x − h)2/b2 = 1
  • خطا التقارب: y − k = ±(a/b)(x − h)
علاقة القطع الزائدc2 = a2 + b2الاختلاف المركزي e = c/a > 1
فكرة مهمةالحد الموجب يحدد اتجاه المحور القاطع، و a2 تحت الحد الموجب دائمًا وليست بالضرورة الأكبر.

قطع ناقص ببؤرتيه ورؤوسه وقطع زائد ببؤرتيه ورأسيه وخطي تقاربه

خامسًا: تحديد نوع القطع من المعادلة العامة

للمعادلة Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0:

عندما B = 0باستعمال المميز B2 − 4ACالنوع
A = C< 0 و B = 0 و A = Cدائرة
A و C بالإشارة نفسها و A ≠ C< 0قطع ناقص
AC = 0 (حد تربيعي واحد)= 0قطع مكافئ
A و C مختلفان في الإشارة> 0قطع زائد
فكرة مهمةوجود الحد xy (B ≠ 0) يعني أن محاور القطع مدوّرة بالنسبة لمحوري الإحداثيات.

مثال محلول 1

مثال محلول

أوجد المركز ونصف القطر للدائرة x2 + y2 + 8x − 2y + 8 = 0.

  1. (x2 + 8x + 16) + (y2 − 2y + 1) = −8 + 16 + 1
  2. (x + 4)2 + (y − 1)2 = 9
الإجابة: المركز (−4, 1) ونصف القطر 3

مثال محلول 2

مثال محلول

أوجد الرأس والبؤرة والدليل للقطع المكافئ (x + 1)2 = −12(y − 2).

  1. الرأس (−1, 2)
  2. 4p = −12 ⇐ p = −3 فالقطع مفتوح لأسفل
  3. البؤرة (−1, 2 − 3) = (−1, −1)
  4. الدليل y = 2 + 3 = 5
الإجابة: الرأس (−1, 2)، البؤرة (−1, −1)، الدليل y = 5

مثال محلول 3

مثال محلول

أوجد البؤرتين والاختلاف المركزي للقطع الناقص x2/100 + y2/36 = 1.

  1. a2 = 100 و b2 = 36
  2. c2 = 64 ⇐ c = 8
  3. e = 8/10
الإجابة: البؤرتان (±8, 0) و e = 0.8

مثال محلول 4

مثال محلول

أوجد خطي التقارب للقطع الزائد y2/36 − x2/64 = 1 وبؤرتيه.

  1. قطع رأسي، a = 6 و b = 8
  2. خطا التقارب y = ±(6/8)x = ±(3/4)x
  3. c2 = 36 + 64 = 100
الإجابة: y = ±(3/4)x، والبؤرتان (0, ±10)

فهم أعمق: كيف تقرأ القطع من رسمه؟

  1. حدد المركز أو الرأسابدأ به أولًا، ثم حدد الاتجاه: هل المنحنى ممتد أفقيًا أم رأسيًا؟
  2. القطع الناقصاحسب نصف الامتداد الأفقي ونصف الرأسي؛ الأكبر a والأصغر b، والمقام الأكبر تحت المتغير الذي يمتد في اتجاهه المحور الأكبر.
  3. القطع الزائدموقع الرأسين يحدد اتجاه المحور القاطع؛ ومن خط تقارب يمر بنقطة معروفة احسب ميله وقارنه بـ b/a أو a/b لإيجاد b.
  4. القطع المكافئانظر إلى جهة انفتاحه لتحديد الحد المربع وإشارة p.

مفتوح لليمين أو اليسار

  • الحد المربع هو y

مفتوح لأعلى أو لأسفل

  • الحد المربع هو x
  • p موجبة إذا انفتح القطع نحو الاتجاه الموجب للمحور، وسالبة إذا انفتح نحو السالب.
  • البؤرة تقع داخل القطع، والدليل خارجه على البعد نفسه من الرأس.

تطبيقات حياتية

القطع المكافئ

  • أطباق الاستقبال الفضائي والمصابيح الأمامية للسيارات.
  • الأشعة الموازية لمحور التماثل تنعكس لتمر بالبؤرة، فيوضع المستقبل أو مصدر الضوء فيها.

القطع الناقص

  • مدارات الكواكب، والشمس في إحدى بؤرتيها.
  • الاختلاف المركزي يقيس مدى استطالة المدار.

القطع الزائد

  • أنظمة تحديد المواقع التي تعتمد على الفرق بين أزمنة وصول الإشارات.

خدع شائعة

  • استعمال c2 = a2 − b2 في القطع الزائد؛ الصحيح هناك c2 = a2 + b2.
  • افتراض أن a2 هو المقام الأكبر في القطع الزائد؛ بل هو مقام الحد الموجب.
  • الخلط بين ميل خط التقارب b/a للأفقي و a/b للرأسي.
  • نسيان تحويل الصورة العامة إلى القياسية (القسمة على الثابت) قبل قراءة a و b.
  • عدّ المعادلة 2x2 + 3xy + 2y2 = 5 دائرة لأن A = C؛ وجود الحد xy يجعلها قطعًا ناقصًا.
  • كتابة نصف القطر r2 بدلًا من r عند قراءة معادلة الدائرة.

الخلاصة

  • الدائرة: (x − h)2 + (y − k)2 = r2.
  • المكافئ: (y − k)2 = 4p(x − h) أو (x − h)2 = 4p(y − k)، والبؤرة على بعد p من الرأس والدليل على بعد p في الجهة الأخرى.
  • الناقص: c2 = a2 − b2 و e < 1. الزائد: c2 = a2 + b2 و e > 1.
  • التصنيف: B2 − 4AC سالب ⇐ ناقص (أو دائرة)، صفر ⇐ مكافئ، موجب ⇐ زائد.

اختبر فهمك لهذا الدرس

27 سؤالًا — سؤال واحد في كل مرة، 10 ثوانٍ لكل سؤال، والتصحيح والتقرير بعد آخر سؤال.

ابدأ الاختبار ←

تدريبات إضافية على هذا الدرس

✎تدريب 5-3-1: الدائرة والقطع المكافئتدريب تفاعلي — يفتح في نفس الصفحة12 سؤالًا✎تدريب 5-3-2: القطع الزائد والقطع الناقصتدريب تفاعلي — يفتح في نفس الصفحة29 سؤالًا

مراجعة الوحدة

★مراجعة الوحدة 5: الدوال المتقدمة والهندسة التحليلية — اختبار شاملالوحدة 5: الدوال المتقدمة والهندسة التحليلية34 سؤالًا

تحدَّ نفسك: أسئلة مبتكرة على هذا الدرس

5 أسئلة بصيغ متنوعة على نمط الاختبار (جدول، خطوة خاطئة، سياق حياتي، «عدا»…) مبنية على محتوى هذا الدرس فقط، مع التفسير وسبب خطأ كل خيار.

1
المفردة الشاذة

أي المعادلات الآتية تمثل نوعًا من القطوع يختلف عن البقية؟

2
تطبيق قانون

ما بؤرة القطع المكافئ y² = 12x ومعادلة دليله؟

3
متعدد الخطوات

ما المسافة بين بؤرتي القطع الناقص x²/25 + y²/9 = 1؟

4
تفسير جدول

صنّف طالب أربع معادلات كما في الجدول. أي صف فيه تصنيف خاطئ؟

المعادلةتصنيف الطالب
x² + y² − 4x = 5دائرة
3x² + 5y² = 15قطع ناقص
y = x² − 2xقطع مكافئ
2x² − 2y² = 8دائرة

5
تطبيق قانون — فخ المقلوب

ما معادلتا خطي التقارب للقطع الزائد x²/16 − y²/9 = 1؟