الرئيسية/الكورسات/التحصيلي — الرياضيات/المتتابعات والمتسلسلات

DABOUR HUB / LESSON

المتتابعات والمتسلسلات

المسار: التحصيلي — الرياضياتالوحدة 3: المتتابعات والاحتمالات والإحصاء7 أقسام

اختبر فهمك ←

مقدمة الدرس

تُعدّ المتتابعات والمتسلسلات من الموضوعات الثابتة في اختبار التحصيلي.

صور الأسئلة غالبًا

إيجاد حدٍّ مجهول
حساب مجموع عددٍ من الحدود
التمييز بين النمط الحسابي والنمط الهندسي

التعريفات والقوانين الأساسيةأمثلة محلولة بخطوات واضحةالأخطاء الشائعة

أولًا: المتتابعة والمتسلسلة

المتتابعةقائمة مرتبة من الأعداد، يسمى كل عدد فيها حدًّا، ونرمز للحد الذي رتبته n بالرمز a_n.

المتسلسلةمجموع حدود المتتابعة، ونرمز لمجموع أول n حدًّا بالرمز S_n.

رمز المجموع Σ (سيجما)لكتابة المتسلسلة باختصار: Σ من k = 1 إلى 4 للمقدار (2k) يساوي 2 + 4 + 6 + 8 = 20.

متتابعة منتهية

لها حد أخير

متتابعة غير منتهية

تستمر إلى ما لا نهاية

صيغة صريحة

تعطي a_n مباشرة بدلالة n
مثل a_n = 3n − 1

صيغة ارتدادية (تكرارية)

تعطي الحد بدلالة الحد السابق
مثل a₁ = 2 ، a_n = a_n−1 + 5

ثانيًا: المتتابعة الحسابية

المتتابعة الحسابيةالفرق بين كل حد والحد الذي يسبقه ثابت، ويسمى أساس المتتابعة الحسابية d.

المطلوب	القانون
الأساس	d = a_n − a_n−1
الحد النوني	a_n = a₁ + (n − 1) d
مجموع أول n حدًّا	S_n = n/2 × (a₁ + a_n) = n/2 × [2a₁ + (n − 1) d]
الوسط الحسابي بين عددين a و b	(a + b) / 2

الحسابية

الحد النوني دالة خطية في n.
نقاطها على خط مستقيم ميله الأساس d.

الهندسية

تنمو نموًا أسيًّا.

$تمثيل بياني لمتتابعة حسابية نقاطها على مستقيم ومتتابعة هندسية نقاطها تنمو أسيًا$

الأوساط الحسابيةالحدود الواقعة بين حدين غير متتاليين في متتابعة حسابية.

إدخال k وسطًا بين a و bd = (b − a) / (k + 1)لأن عدد الحدود الكلي يصبح k + 2

مثال محلول (1)

مثال محلول

في المتتابعة 7 ، 11 ، 15 ، … أوجد الحد الخامس والعشرين، ثم مجموع أول 25 حدًّا.

الأساس: d = 11 − 7 = 4.
الحد: a₂₅ = 7 + (25 − 1) × 4 = 7 + 96 = 103.
المجموع: S₂₅ = 25/2 × (7 + 103) = 25/2 × 110.

الإجابة: a₂₅ = 103 و S₂₅ = 1375

مثال محلول (2)

مثال محلول

أدخل ثلاثة أوساط حسابية بين العددين 5 و 21.

عدد الحدود الكلي = 3 + 2 = 5، إذن a₁ = 5 و a₅ = 21.
21 = 5 + 4d ومنه d = 4.

الإجابة: الأوساط 9 ، 13 ، 17

ثالثًا: المتتابعة الهندسية

المتتابعة الهندسيةنسبة كل حد إلى الذي يسبقه ثابتة، وتسمى أساس المتتابعة الهندسية r، بشرط ألا يساوي أي حد صفرًا.

المطلوب	القانون
الأساس	r = a_n ÷ a_n−1
الحد النوني	a_n = a₁ × rⁿ⁻¹
مجموع أول n حدًّا (r ≠ 1)	S_n = a₁(1 − rⁿ) / (1 − r)
مجموع المتسلسلة اللانهائية (\|r\| < 1)	S = a₁ / (1 − r)
الوسط الهندسي بين عددين موجبين a و b	±√(a × b)

|r| ≥ 1

المتسلسلة الهندسية اللانهائية متباعدة
ليس لها مجموع

|r| < 1

المتسلسلة متقاربة
يقترب مجموعها من a₁ / (1 − r)

مثال محلول (3)

مثال محلول

متتابعة هندسية حدها الأول 3 وأساسها 2. أوجد الحد الثامن ومجموع أول ثمانية حدود.

a₈ = 3 × 2⁷ = 3 × 128 = 384.
S₈ = 3(1 − 2⁸) / (1 − 2) = 3 × 255.

الإجابة: a₈ = 384 و S₈ = 765

مثال محلول (4)

مثال محلول

أوجد مجموع المتسلسلة اللانهائية 18 + 12 + 8 + …

r = 12 ÷ 18 = 2/3، و |r| < 1 فالمتسلسلة متقاربة.
S = 18 / (1 − 2/3) = 18 ÷ (1/3).

الإجابة: 54

رابعًا: نظرية ذات الحدين

الحد العام في مفكوك (a + b)ⁿT_r+1 = C(n , r) × a^n−r × b^rC(n, r) عدد التوافيق؛ المفكوك فيه n + 1 حدًّا، ومجموع معاملاته 2ⁿ

مثال محلول

ما معامل x³ في مفكوك (x + 2)⁵؟

C(5 , 2) × 2² = 10 × 4

الإجابة: 40

الاستقراء الرياضيإثبات صحة عبارة لكل عدد طبيعي n، ومن الأدوات المرتبطة بالمتسلسلات.

الخطوة الأولىإثبات صحة العبارة عند n = 1.
الخطوة الثانيةافتراض صحتها عند n = k وإثبات صحتها عند n = k + 1.

خامسًا: كيف تميز نوع المتتابعة بسرعة؟

وجه المقارنة	الحسابية	الهندسية
العلاقة بين الحدود	نضيف عددًا ثابتًا	نضرب في عدد ثابت
الاختبار	الفروق المتتالية متساوية	النسب المتتالية متساوية
شكل التمثيل البياني	نقاط على مستقيم	نقاط على منحنى أسي
مثال من الحياة	ادخار مبلغ يزيد بمقدار ثابت كل شهر	نمو سكاني بنسبة مئوية ثابتة كل سنة

زيادة بنسبة مئوية ثابتة ← هندسية

زيادة 10% سنويًّا = الضرب في 1.1 كل سنة
نقص 20% = الضرب في 0.8

زيادة بمقدار ثابت ← حسابية

مقدار ثابت من الريالات أو الأمتار

الأنماط الهندسية (أعواد، مربعات، نقاط)اكتب عدد العناصر في أول ثلاثة أشكال ثم احسب الفروق: إذا كانت ثابتة فالنمط حسابي وحده النوني دالة خطية.

خدع شائعة

الخلط بين عدد الحدود والأساس: في الحد النوني نضرب الأساس في (n − 1) وليس في n.
عند إدخال k وسطًا بين عددين نقسم الفرق على k + 1 وليس على k.
في المتتابعة الهندسية ذات الأساس السالب تتناوب الإشارات: الحدود ذات الرتب الزوجية سالبة إذا كان الحد الأول موجبًا والأساس سالبًا.
لا تستخدم قانون المجموع اللانهائي إلا إذا كانت |r| < 1، فالمتسلسلة 2 + 6 + 18 + … ليس لها مجموع.
في رمز Σ تأكد من الحد الأدنى للعداد، فعدد الحدود من k = 3 إلى k = 10 هو 8 حدود وليس 10.
الحد الأوسط في مفكوك (a + b)ⁿ حيث n زوجي رتبته n/2 + 1.

الخلاصة

الحسابية: فرق ثابت d، و a_n = a₁ + (n − 1)d، و S_n = n/2 (a₁ + a_n).
الهندسية: نسبة ثابتة r، و a_n = a₁ rⁿ⁻¹، و S_n = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r).
المجموع اللانهائي a₁/(1 − r) موجود فقط عندما |r| < 1.
الوسط الحسابي (a + b)/2، والوسط الهندسي ±√(ab).
الحد العام في ذات الحدين C(n, r) a^n−r b^r، ومجموع المعاملات 2ⁿ.

اختبر فهمك لهذا الدرس

27 سؤالًا — سؤال واحد في كل مرة، 10 ثوانٍ لكل سؤال، والتصحيح والتقرير بعد آخر سؤال.

ابدأ الاختبار ←

تدريبات إضافية على هذا الدرس

✎تدريب 3-1-1: المتتابعات الحسابية وحدودهاتدريب تفاعلي — يفتح في نفس الصفحة48 سؤالًا ✎تدريب 3-1-2: المتتابعات الهندسية والمتسلسلات اللانهائيةتدريب تفاعلي — يفتح في نفس الصفحة44 سؤالًا

مراجعة الوحدة

★مراجعة الوحدة 3: المتتابعات والاحتمالات والإحصاء — اختبار شاملالوحدة 3: المتتابعات والاحتمالات والإحصاء34 سؤالًا

تحدَّ نفسك: أسئلة مبتكرة على هذا الدرس

5 أسئلة بصيغ متنوعة على نمط الاختبار (جدول، خطوة خاطئة، سياق حياتي، «عدا»…) مبنية على محتوى هذا الدرس فقط، مع التفسير وسبب خطأ كل خيار.

المفردة الشاذة

أي المتتابعات الآتية تختلف في نوعها عن البقية؟

سياق حياتي

بدأ طالب برنامجًا لحفظ القرآن الكريم: يحفظ 3 صفحات في الأسبوع الأول ويزيد صفحتين كل أسبوع. كم صفحة يحفظ في الأسابيع العشرة الأولى مجتمعة؟

فخ التقارب

ما مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية 12 + 6 + 3 + …؟

اكتشاف الخطأ في الحل

أوجد طالب معامل x² في مفكوك (x + 2)⁵:
الخطوة 1: الحد العام C(5, r) x⁵⁻ʳ 2ʳ
الخطوة 2: لكي يظهر x² نضع 5 − r = 2 ⇒ r = 3
الخطوة 3: المعامل = C(5, 3) × 2² = 40
أين الخطأ؟

مقارنة كمية

القيمة الأولى: الحد التاسع للمتتابعة الحسابية 5، 8، 11، …
القيمة الثانية: الحد السادس للمتتابعة الهندسية 1، 2، 4، …