Dabour Hubأكاديمية دكتور دبور · قدرات وتحصيلي
الرئيسية/الكورسات/التحصيلي — الرياضيات/المتطابقات والمعادلات المثلثية
DABOUR HUB / LESSON

المتطابقات والمعادلات المثلثية

المسار: التحصيلي — الرياضياتالوحدة 4: حساب المثلثات6 أقسام
اختبر فهمك ←

مقدمة الدرس

المتطابقة المثلثية

  • صحيحة لجميع قيم المتغير التي يكون فيها طرفاها معرّفين

المعادلة المثلثية

  • صحيحة لقيم محددة فقط نبحث عنها
المتطابقات الأساسيةمجموع زاويتين والفرق بينهماضعف الزاوية ونصفهاتبسيط العبارات وحل المعادلات

وهي مهارات تتكرر كثيرًا في أسئلة التحصيلي.

أولًا: المتطابقات الأساسية

النوعالمتطابقات
متطابقات المقلوبcsc θ = 1/sin θ ، sec θ = 1/cos θ ، cot θ = 1/tan θ
متطابقات النسبةtan θ = sin θ / cos θ ، cot θ = cos θ / sin θ
متطابقات فيثاغورسsin2θ + cos2θ = 1 ، 1 + tan2θ = sec2θ ، 1 + cot2θ = csc2θ
الزاويتان المتتامتانsin(90° − θ) = cos θ ، cos(90° − θ) = sin θ ، tan(90° − θ) = cot θ
الزوجية والفرديةcos(−θ) = cos θ ، sin(−θ) = −sin θ ، tan(−θ) = −tan θ

مثلث قائم داخل دائرة الوحدة يوضح أن مربع الجيب زائد مربع جيب التمام يساوي 1

فكرة مهمةsin2θ + cos2θ = 1 هي نظرية فيثاغورس في المثلث داخل دائرة الوحدة؛ وبقسمتها على cos2θ أو sin2θ نحصل على المتطابقتين الأخريين.

مثال محلول (1)

مثال محلول

بسّط العبارة: cos θ (sec θ − cos θ).

  1. نوزع: cos θ × (1/cos θ) − cos2θ
  2. = 1 − cos2θ
الإجابة: sin2θ

استراتيجيات إثبات المتطابقات

  1. الطرف الأكثر تعقيدًاابدأ به.
  2. sin و cosحوّل كل الدوال إليهما.
  3. المقاماتوحّدها.
  4. فيثاغورساستعمل متطابقاتها.
  5. لا تنقل حدودًامن طرف إلى آخر كما في المعادلات.

مثال محلول (إثبات متطابقة)

مثال محلول

أثبت أن: (1 + tan2θ) cos2θ = 1.

  1. نبدأ بالطرف الأيمن لأنه الأكثر تعقيدًا.
  2. نستبدل 1 + tan2θ بما يساويه sec2θ، فيصبح sec2θ × cos2θ.
  3. sec θ مقلوب cos θ فحاصل الضرب 1، وهو الطرف الأيسر.
الإجابة: ثبتت المتطابقة؛ لم ننقل أي حد، بل حوّلنا طرفًا واحدًا حتى طابق الآخر

كيف نتحقق من أن عبارة ما ليست متطابقة؟

المثال المضادقيمة واحدة للزاوية لا تحقق العبارة؛ تكفي لإثبات أنها ليست متطابقة.
  • sin 2θ = 2 sin θ ليست متطابقة: عند θ = 90° الطرف الأيمن sin 180° = 0 والأيسر 2 sin 90° = 2.
  • لإثبات أن العبارة متطابقة لا يكفي التعويض بقيم، بل لا بد من إثبات جبري عام.

إيجاد باقي الدوال من دالة واحدة

قيمة إحدى الدوال وربع الزاويةمتطابقة فيثاغورس للدالة الأخرىالإشارة من الربع
مثال محلول

إذا كان cos θ = 3/5 و θ في الربع الرابع، فأوجد sin θ و tan θ.

  1. sin θ = −√(1 − 9/25) = −4/5
  2. tan θ = −4/3
الإجابة: sin θ = −4/5 و tan θ = −4/3؛ وهذه الخطوة أساس لكثير من مسائل ضعف الزاوية ونصفها

ثانيًا: متطابقات مجموع زاويتين والفرق بينهما

الجيبsin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin Bالإشارة نفسها في الطرفين
جيب التمامcos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin Bلاحظ أن الإشارة تنعكس
الظلtan(A ± B) = (tan A ± tan B) ÷ (1 ∓ tan A tan B)الإشارة في المقام معكوسة

مثال محلول (2)

مثال محلول

أوجد القيمة الدقيقة لـ sin 75°.

  1. sin 75° = sin(45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
  2. = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2)
الإجابة: (√6 + √2)/4
  • إيجاد القيم الدقيقة: لزوايا ليست خاصة بكتابتها مجموعًا أو فرقًا لزاويتين خاصتين، مثل 15° = 45° − 30° و 105° = 60° + 45°.
  • التعرف على المفكوك: العبارة cos A cos B + sin A sin B تساوي مباشرة cos(A − B)، فاختصر الحساب.

ثالثًا: متطابقات ضعف الزاوية ونصفها

ضعف الزاويةنصف الزاوية
sin 2θ = 2 sin θ cos θsin(θ/2) = ± √((1 − cos θ)/2)
cos 2θ = cos2θ − sin2θ = 2cos2θ − 1 = 1 − 2sin2θcos(θ/2) = ± √((1 + cos θ)/2)
tan 2θ = 2 tan θ ÷ (1 − tan2θ)tan(θ/2) = (1 − cos θ)/sin θ = sin θ/(1 + cos θ)
فكرة مهمةتُحدَّد إشارة نصف الزاوية حسب الربع الذي تقع فيه θ/2 نفسها، لا θ.

مثال محلول (3)

مثال محلول

إذا كان sin θ = 5/13 و θ في الربع الثاني، فأوجد sin 2θ و cos 2θ.

  1. cos θ = −√(1 − 25/169) = −12/13 (سالب في الربع الثاني)
  2. sin 2θ = 2 × (5/13) × (−12/13) = −120/169
  3. cos 2θ = 1 − 2 × (25/169) = 119/169
الإجابة: sin 2θ = −120/169 و cos 2θ = 119/169

اشتقاق المتطابقات واختيار الصيغة

  • ضعف الزاوية من متطابقات المجموع بوضع A = B = θ.
  • نصف الزاوية من الصورتين الأخيرتين لـ cos 2θ بعد عزل sin2 أو cos2؛ فإن نسيت إحداها اشتققتها بسرعة.
  • اختيار صيغة cos 2θ
    • 1 − 2sin2θ إذا كان المعطى الجيب.
    • 2cos2θ − 1 إذا كان المعطى جيب التمام.
    • هذا يغنيك عن حساب الدالة الأخرى.

رابعًا: حل المعادلات المثلثية

  1. اعزل أو حلّلاعزل الدالة المثلثية أو حلّل العبارة إلى عوامل.
  2. الزاوية المرجعيةأوجدها.
  3. الأرباعحدّد الأرباع المناسبة حسب الإشارة.
  4. اكتب الحلولفي الفترة المطلوبة، أو الحل العام بإضافة مضاعفات الدورة (2kπ للجيب وجيب التمام، و kπ للظل).

منحنى الجيب يقطعه المستقيم y يساوي نصفًا في نقطتين خلال دورة واحدة

يوضح الشكل أن sin x = 1/2 لها حلان في الدورة الواحدة: π/6 و 5π/6، والحل العام: x = π/6 + 2kπ أو x = 5π/6 + 2kπ.

مثال محلول (4)

مثال محلول

حل المعادلة 2sin2x − sin x = 0 في الفترة [0° , 360°).

  1. نحلل: sin x (2 sin x − 1) = 0
  2. sin x = 0 ⇐ x = 0° أو 180°
  3. sin x = 1/2 ⇐ x = 30° أو 150°
الإجابة: 0° ، 30° ، 150° ، 180°

المعادلات من الدرجة الثانية

  • الدالة مربعة ومعها الدالة نفسها: عاملها كمعادلة تربيعية، ضع مثلًا u = cos x ثم حلّل.
  • دالتان مختلفتان مثل sin2x و cos x: حوّل كل شيء إلى دالة واحدة بمتطابقة فيثاغورس قبل التحليل.
  • تحقق أن كل قيمة للدالة تقع في مداها قبل البحث عن الزوايا.

المعادلات ذات الزاوية المضاعفة

  • cos 2x = 0 في [0 , 2π): نحل بالنسبة إلى 2x في [0 , 4π).
  • ثم نقسم كل حل على 2.
  • الحلول: π/4 ، 3π/4 ، 5π/4 ، 7π/4.

خدع شائعة

  • القسمة على sin x أو cos x في المعادلة تُضيع حلولًا؛ الصحيح أن نحلل إلى عوامل.
  • كتابة sin 2θ = 2 sin θ أو cos 2θ = 2 cos θ خطأ شائع جدًا.
  • نسيان عكس الإشارة في مفكوك cos(A + B).
  • تحديد إشارة نصف الزاوية من ربع θ بدلًا من ربع θ/2.
  • المعادلة sin x = k أو cos x = k ليس لها حل إذا كانت |k| > 1.
  • عند حل معادلة بزاوية مضاعفة مثل sin 2x = k، يتضاعف عدد الحلول في الفترة [0 , 2π) لأن الدورة تصبح π.

الخلاصة

  • sin2θ + cos2θ = 1 ، 1 + tan2θ = sec2θ ، 1 + cot2θ = csc2θ.
  • sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B ، cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B.
  • sin 2θ = 2 sin θ cos θ ، cos 2θ = 1 − 2sin2θ = 2cos2θ − 1.
  • نصف الزاوية: ± √((1 ∓ cos θ)/2) والإشارة من ربع θ/2.
  • لحل المعادلة: اعزل أو حلّل، ثم الزاوية المرجعية، ثم الأرباع، ثم الفترة أو الحل العام.

اختبر فهمك لهذا الدرس

27 سؤالًا — سؤال واحد في كل مرة، 10 ثوانٍ لكل سؤال، والتصحيح والتقرير بعد آخر سؤال.

ابدأ الاختبار ←

تدريبات إضافية على هذا الدرس

✎تدريب 4-2-1: المتطابقات المثلثية والجمع والطرحتدريب تفاعلي — يفتح في نفس الصفحة3 سؤالًا

مراجعة الوحدة

★مراجعة الوحدة 4: حساب المثلثات — اختبار شاملالوحدة 4: حساب المثلثات35 سؤالًا

تحدَّ نفسك: أسئلة مبتكرة على هذا الدرس

5 أسئلة بصيغ متنوعة على نمط الاختبار (جدول، خطوة خاطئة، سياق حياتي، «عدا»…) مبنية على محتوى هذا الدرس فقط، مع التفسير وسبب خطأ كل خيار.

1
متعدد الخطوات

إذا كان sin θ = 3/5 و θ زاوية حادة، فما قيمة sin 2θ؟

2
فخ الحلول الناقصة

ما حلول المعادلة 2 sin x − 1 = 0 في الفترة 0° ≤ x < 360°؟

3
أي العبارات صحيحة

أي العبارات الآتية صحيحة؟

4
مقارنة كمية

القيمة الأولى: 2 sin 15° cos 15°
القيمة الثانية: cos²15° − sin²15°

5
سياق حياتي

يركل لاعب في دوري روشن كرة، ويعطى مداها الأفقي بالعلاقة R = (v²/g) × 2 sin θ cos θ. بثبات v، ما زاوية الركل θ التي تعطي أكبر مدى؟