Dabour Hubأكاديمية دكتور دبور · قدرات وتحصيلي
الرئيسية/الكورسات/القدرات — الكمي/المثلثات
DABOUR HUB / LESSON

المثلثات

المسار: القدرات — الكميالوحدة 3: الهندسة9 أقسام
اختبر فهمك ←

مقدمة الدرس

فكرة مهمةالمثلث أكثر شكل يتكرر في أسئلة الهندسة في القدرات، لأنه يدخل في كل الأشكال الأخرى.
  • المستطيل يُقسم بقطره إلى مثلثين.
  • المضلع يُقسم إلى مثلثات.
  • نصف قطر الدائرة مع المماس يكوّن مثلثًا قائمًا.

نجمع هنا أهم القواعد التي تحل بها أسئلة المثلثات بسرعة ومن غير آلة حاسبة.

أولًا: زوايا المثلث

  • مجموع زوايا المثلث الداخلية = 180°.
  • الزاوية الخارجية عند أي رأس = مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها.
  • مجموع الزوايا الخارجية للمثلث (زاوية واحدة عند كل رأس) = 360°.

مثلث تظهر فيه زاوية خارجية تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين

الحل السريعإذا أُعطيت الزاوية الخارجية وإحدى البعيدتين فاطرح مباشرة، ولا حاجة لحساب الزاوية الداخلية المجاورة.

ثانيًا: أنواع المثلثات

حسب الأضلاعالخاصيةحسب الزواياالخاصية
متطابق الأضلاعكل زاوية 60°حاد الزواياكل زواياه أقل من 90°
متطابق الضلعينزاويتا القاعدة متساويتانقائم الزاويةفيه زاوية 90°
مختلف الأضلاعزواياه مختلفةمنفرج الزاويةفيه زاوية أكبر من 90°
فكرة مهمةفي أي مثلث: الضلع الأطول يقابل الزاوية الكبرى، والضلع الأقصر يقابل الزاوية الصغرى.

ثالثًا: متباينة المثلث

متباينة المثلثالفرق بين ضلعين < الضلع الثالث < مجموعهماطول أي ضلع أصغر من مجموع الضلعين الآخرين وأكبر من الفرق بينهما
مثال محلول

ضلعان في مثلث طولاهما 4 و 10. ما مدى الضلع الثالث ع؟

  1. 10 − 4 < ع < 10 + 4
الإجابة: 6 < ع < 14

رابعًا: نظرية فيثاغورس والمثلثات الخاصة

نظرية فيثاغورس(الوتر)2 = (الضلع الأول)2 + (الضلع الثاني)2في المثلث القائم؛ الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة وهو أطول الأضلاع

الثلاثيات الفيثاغورية (توفر وقتًا كبيرًا)

  • (3، 4، 5) و (5، 12، 13)
  • (8، 15، 17) و (7، 24، 25)

ومضاعفاتها

  • (6، 8، 10)
  • (9، 12، 15)
  • (10، 24، 26)

المثلث الثلاثيني الستيني والمثلث القائم المتطابق الضلعين مع نسب أضلاعهما

مثلث 30° - 60° - 90°

  • الأضلاع بالنسبة s : s√3 : 2s
  • الضلع المقابل لـ 30° نصف الوتر

مثلث 45° - 45° - 90°

  • الأضلاع بالنسبة s : s : s√2
  • الوتر = الضلع × √2

خامسًا: المساحة والتشابه

مساحة المثلثالمساحة = ½ × القاعدة × الارتفاعالارتفاع عمودي على القاعدة وقد يقع خارج المثلث المنفرج
المثلث المتطابق الأضلاع (ضلعه s)المساحة = (√3 ÷ 4) × s2، والارتفاع = (√3 ÷ 2) × s.
الارتفاع على الوتر (مثلث قائم)حاصل ضرب الضلعين القائمين ÷ الوتر.
المتوسط إلى الوتر (مثلث قائم)يساوي نصف الوتر.

التشابه

إذا رُسم مستقيم يوازي أحد الأضلاع قطع مثلثًا صغيرًا مشابهًا للكبير.

نسبة المحيطين

  • = نسبة التشابه

نسبة المساحتين

  • = مربع نسبة التشابه

أمثلة محلولة

مثال محلول 1

مثال محلول

مثلث زواياه بالنسبة 1 : 2 : 6. ما نوعه؟

  1. مجموع الأجزاء 9، وكل جزء = 180 ÷ 9 = 20°
  2. الزوايا 20° و 40° و 120°
الإجابة: منفرج الزاوية

مثال محلول 2

مثال محلول

مثلث قائم ضلعاه القائمان 20 و 15. ما طول وتره؟

  1. الحل السريع: 15 = 3 × 5 و 20 = 4 × 5، فهو مضاعف الثلاثية (3، 4، 5).
  2. الوتر = 5 × 5، دون تربيع أي عدد.
الإجابة: 25

مثال محلول 3

مثال محلول

مثلث قائم فيه زاوية 60° ووتره 14. أوجد الضلع المقابل للزاوية 30° والضلع المقابل للزاوية 60°.

  1. المقابل لـ 30° = نصف الوتر = 7
  2. المقابل لـ 60° = 7√3
الإجابة: 7 و 7√3

مثال محلول 4

مثال محلول

مثلثان متشابهان نسبة أضلاعهما 1 : 3، ومساحة الصغير 5 سم2. ما مساحة الكبير؟

  1. نسبة المساحتين = 1 : 9
  2. مساحة الكبير = 5 × 9
الإجابة: 45 سم2

أنماط متكررة في الاختبار وطريقة التعامل معها

  1. زوايا بدلالة س داخل مثلثاجمع وساوِ بـ 180، ولا تنسَ أن المطلوب قد يكون أكبر زاوية لا قيمة س.
  2. مثلث قائم معلوم فيه ضلعانابحث أولًا عن ثلاثية فيثاغورية أو مضاعفاتها قبل التربيع؛ 12 و 16 هما 4 × 3 و 4 × 4، فالوتر 4 × 5 = 20.
  3. زاوية 30° أو 45° أو 60°استخدم نسب المثلثات الخاصة مباشرة دون فيثاغورس.
  4. مستقيم يوازي أحد الأضلاعكوّن التناسب بين الصغير والكبير، وانتبه أن الضلع الكامل مجموع الجزأين.
  5. سؤال عن الضلع الثالثطبّق متباينة المثلث واستبعد الحدّين.
نصيحة للسرعةجذر في الخيارات مثل 5√3 أو 7√2 يعني غالبًا مثلثًا خاصًا (30-60-90 أو 45-45-90)، فابحث عن الزاوية الخاصة في الرسم أو النص.

مثال محلول 5

مثال محلول

في المثلث ABC، النقطة D على AB والنقطة E على AC بحيث DE // BC، و AD = 3 و AB = 9 و BC = 12. ما طول DE؟

  1. نسبة التشابه = AD ÷ AB = 3 ÷ 9 = 1 ÷ 3
  2. DE = 12 ÷ 3
الإجابة: 4

خدع شائعة

  • استخدام فيثاغورس في مثلث غير قائم. تأكد من وجود الزاوية القائمة أولًا.
  • جمع مربعي الضلعين عندما يكون المعطى هو الوتر وأحد الضلعين؛ هنا نطرح: الضلع2 = الوتر2 − الضلع الآخر2.
  • أخذ الضلع المائل بدل الارتفاع في حساب المساحة، خصوصًا في المثلث المنفرج.
  • مضاعفة المساحة بنسبة التشابه نفسها؛ الصحيح أن المساحة تتضاعف بمربع النسبة.
  • في متباينة المثلث: القيمتان الحدّيتان (الفرق والمجموع) غير مسموح بهما، لأن المثلث يصبح قطعة مستقيمة.

الخلاصة

  • مجموع زوايا المثلث 180°، والزاوية الخارجية = مجموع البعيدتين.
  • الفرق بين ضلعين < الضلع الثالث < مجموعهما.
  • فيثاغورس للمثلث القائم، واحفظ الثلاثيات: 3-4-5، 5-12-13، 8-15-17، 7-24-25.
  • 30-60-90: s ، s√3 ، 2s. و 45-45-90: s ، s ، s√2.
  • المساحة = ½ × القاعدة × الارتفاع، والمتطابق الأضلاع: (√3 ÷ 4) s2.
  • في التشابه: المحيطات بنسبة التشابه، والمساحات بمربعها.

اختبر فهمك لهذا الدرس

20 سؤالًا — سؤال واحد في كل مرة، 10 ثوانٍ لكل سؤال، والتصحيح والتقرير بعد آخر سؤال.

ابدأ الاختبار ←

تدريبات إضافية على هذا الدرس

✎تدريب 3-2-1: زوايا المثلث وعلاقات أضلاعهتدريب تفاعلي — يفتح في نفس الصفحة17 سؤالًا✎تدريب 3-2-2: نظرية فيثاغورس والمثلثات الخاصةتدريب تفاعلي — يفتح في نفس الصفحة14 سؤالًا

مراجعة الوحدة

★مراجعة الوحدة 3: الهندسة — اختبار شاملالوحدة 3: الهندسة34 سؤالًا

تحدَّ نفسك: أسئلة مبتكرة على هذا الدرس

5 أسئلة بصيغ متنوعة على نمط الاختبار (جدول، خطوة خاطئة، سياق حياتي، «عدا»…) مبنية على محتوى هذا الدرس فقط، مع التفسير وسبب خطأ كل خيار.

1
سياق حياتي (فيثاغورس)

سلّم طوله 13 م يستند إلى جدار، وتبعد قاعدته 5 م عن الجدار. على أي ارتفاع يلامس السلّم الجدار؟

2
جميع ما يلي عدا

جميع ما يلي يصلح أطوالًا لأضلاع مثلث عدا:

3
الزاوية الخارجية والنسبة

في مثلث زاوية خارجية قياسها 130°، والزاويتان الداخليتان البعيدتان عنها بنسبة 2 : 3. ما قياس أصغرهما؟

4
ماذا لو (التشابه)

مثلثان متشابهان نسبة أطوال أضلاعهما 1 : 3. إذا كانت مساحة الأصغر 4 سم²، فما مساحة الأكبر؟

5
مقارنة كمية

مثلث قائم الزاوية طولا ضلعي القائمة 6 و8. القيمة الأولى: طول الوتر ، القيمة الثانية: ضعف طول القطعة المتوسطة الواصلة من رأس القائمة إلى منتصف الوتر