الرئيسية/الكورسات/القدرات — الكمي/المجسمات: المساحة والحجم

DABOUR HUB / LESSON

المجسمات: المساحة والحجم

المسار: القدرات — الكميالوحدة 3: الهندسة7 أقسام

اختبر فهمك ←

مقدمة الدرس

المجسماتالأشكال ذات الأبعاد الثلاثة: الطول والعرض والارتفاع.

الحجم

مقدار ما يتسع له المجسم

المساحة الكلية أو الجانبية

مقدار ما يغطي سطحه

أثر تغيير الأبعاد

على الحجم

الفكرة الأساسيةحجم أي منشور أو أسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع.

متوازي مستطيلات وأسطوانة ومخروط وكرة مع أبعادها

أولًا: القوانين الأساسية

المجسم	الحجم	المساحة الجانبية	المساحة الكلية
المكعب (حرفه ل)	ل³	4 ل²	6 ل²
متوازي المستطيلات (l، w، h)	l × w × h	2 (l + w) × h	2 (lw + lh + wh)
المنشور	مساحة القاعدة × الارتفاع	محيط القاعدة × الارتفاع	الجانبية + 2 × مساحة القاعدة
الأسطوانة (نق، h)	π نق² h	2π نق h	2π نق h + 2π نق²
المخروط (نق، h، راسم l)	⅓ π نق² h	π نق l	π نق l + π نق²
الكرة (نق)	(4 ÷ 3) π نق³	4π نق²

راسم المخروطl² = نق² + h² (فيثاغورس).

القطر الفراغي لمتوازي المستطيلات√(l² + w² + h²)، وللمكعب = ل√3.

ثانيًا: وحدات الحجم والسعة

1 م³= 1000 لتر= 1,000,000 سم³

1 لتر = 1000 سم³.

ثالثًا: عناصر المكعب ومتوازي المستطيلات

لكل منهما 6 أوجه و 12 حرفًا و 8 رؤوس.

في أسئلة «المكعب المطلي» المكوّن من ن × ن × ن مكعبًا صغيرًا:

3 أوجه ملونة

8 (الرؤوس)

وجهان ملونان

12 × (ن − 2)

وجه واحد

6 × (ن − 2)²

غير ملونة

(ن − 2)³

رابعًا: أثر تغيير الأبعاد

الحل السريعإذا ضُربت كل الأبعاد في ك فإن المساحات تُضرب في ك² والحجوم تُضرب في ك³.

مضاعفة حرف المكعب تضاعف مساحته 4 مرات وحجمه 8 مرات.
إذا تغير بُعد واحد فقط فالحجم يتغير بالنسبة نفسها.
حجم المخروط = ⅓ حجم الأسطوانة التي لها القاعدة والارتفاع نفسهما.

أمثلة محلولة

مثال محلول 1

مثال محلول

متوازي مستطيلات أبعاده 6 سم و 5 سم و 2 سم. أوجد حجمه ومساحته الكلية.

الحجم = 6 × 5 × 2 = 60 سم³
المساحة الكلية = 2 (30 + 12 + 10) = 2 × 52

الإجابة: 60 سم³ و 104 سم²

مثال محلول 2

مثال محلول

أسطوانة نصف قطر قاعدتها 7 سم وارتفاعها 10 سم. ما حجمها باستخدام π = 22 ÷ 7؟

الحجم = (22 ÷ 7) × 49 × 10 = 22 × 7 × 10

الإجابة: 1540 سم³

مثال محلول 3

مثال محلول

مكعب مساحته الكلية 150 سم². ما حجمه؟

6 ل² = 150 ← ل² = 25 ← ل = 5

الإجابة: 125 سم³

مثال محلول 4

مثال محلول

كرة نصف قطرها 6 سم. ما حجمها؟

(4 ÷ 3) × π × 216 = 4 × 72 π

الإجابة: 288π سم³

أنماط متكررة في الاختبار وطريقة التعامل معها

من المساحة إلى الحجم أو العكس في المكعباستخرج طول الحرف أولًا، ثم طبّق القانون المطلوب.
السعة باللتراحسب الحجم بالمتر المكعب ثم اضرب في 1000، أو بالسنتيمتر المكعب ثم اقسم على 1000.
صهر مجسم وتحويلهالحجم ثابت، فعدد القطع = حجم الأصلي ÷ حجم القطعة الواحدة.
ملء مجسم بمكعبات صغيرةاقسم كل بُعد على حرف المكعب الصغير ثم اضرب النواتج.
صندوق من لوح مقصوص الأركانطول القاعدة = طول اللوح − 2 × ضلع المربع المقصوص، والارتفاع = ضلع المربع المقصوص.

نصيحة للسرعةبسّط الكسور قبل الضرب: في (4 ÷ 3) × π × 27 اقسم 27 على 3 أولًا فيصبح 4 × 9 = 36، أي 36π. وفي المخروط: ⅓ × 9 × 4 = 3 × 4 = 12.

مثال محلول 5

مثال محلول

كم مكعبًا طول حرفه 3 سم يمكن وضعها داخل صندوق أبعاده الداخلية 12 سم و 9 سم و 6 سم؟

الطول 12 ÷ 3 = 4، والعرض 9 ÷ 3 = 3، والارتفاع 6 ÷ 3 = 2
العدد = 4 × 3 × 2

الإجابة: 24 مكعبًا

مثال محلول 6

مثال محلول

مخروط نصف قطر قاعدته 5 سم وارتفاعه 12 سم. أوجد طول راسمه ومساحته الجانبية.

الراسم² = 5² + 12² = 169، فالراسم = 13 سم (ثلاثية 5، 12، 13)
المساحة الجانبية = π × 5 × 13 (بالراسم لا الارتفاع)

الإجابة: الراسم 13 سم، والمساحة الجانبية 65π سم²

مثال محلول 7

مثال محلول

متوازي مستطيلات أبعاده 2 سم و 3 سم و 4 سم، ضوعفت كل أبعاده. ما حجمه الجديد؟

الحجم الأصلي = 2 × 3 × 4 = 24 سم³
مضاعفة كل الأبعاد تضرب الحجم في 2³ = 8
للتحقق: 4 × 6 × 8 = 192

الإجابة: 192 سم³؛ أما المساحة الكلية فتُضرب في 4 فقط

خدع شائعة

الخلط بين ارتفاع المخروط h وراسمه l: الحجم يستخدم h، والمساحة الجانبية تستخدم l.
نسيان القسمة على 3 في حجم المخروط.
الخلط بين الحجم (وحدة مكعبة) والمساحة (وحدة مربعة)، خصوصًا عند تحويل الوحدات: 1 م³ ليس 100 سم³ بل مليون سم³.
الظن أن مضاعفة الأبعاد تضاعف الحجم مرتين فقط؛ الصحيح 8 مرات.
حساب المساحة الجانبية للأسطوانة ونسيان القاعدتين عندما يُطلب «المساحة الكلية».

الخلاصة

الحجم للمنشور والأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع، وللمخروط الثلث من ذلك.
المكعب: الحجم ل³، والمساحة الكلية 6 ل².
الكرة: الحجم (4 ÷ 3) π نق³، والمساحة 4π نق².
تكبير الأبعاد ك مرة: المساحة × ك² والحجم × ك³.
1 لتر = 1000 سم³، و 1 م³ = 1000 لتر.

اختبر فهمك لهذا الدرس

20 سؤالًا — سؤال واحد في كل مرة، 10 ثوانٍ لكل سؤال، والتصحيح والتقرير بعد آخر سؤال.

ابدأ الاختبار ←

تدريبات إضافية على هذا الدرس

✎تدريب 3-5-1: حجم المنشور والأسطوانةتدريب تفاعلي — يفتح في نفس الصفحة16 سؤالًا ✎تدريب 3-5-2: حجم المخروط والكرة ومساحة السطحتدريب تفاعلي — يفتح في نفس الصفحة12 سؤالًا

مراجعة الوحدة

★مراجعة الوحدة 3: الهندسة — اختبار شاملالوحدة 3: الهندسة34 سؤالًا

تحدَّ نفسك: أسئلة مبتكرة على هذا الدرس

5 أسئلة بصيغ متنوعة على نمط الاختبار (جدول، خطوة خاطئة، سياق حياتي، «عدا»…) مبنية على محتوى هذا الدرس فقط، مع التفسير وسبب خطأ كل خيار.

فخ الوحدات

خزان ماء مكعب الشكل طول ضلعه الداخلي 2 م. كم لترًا يتسع؟

ماذا لو

إذا ضوعفت أبعاد متوازي مستطيلات الثلاثة، فإن حجمه يصبح:

مسألة مباشرة (الأسطوانة)

أسطوانة نصف قطر قاعدتها 3 سم وارتفاعها 10 سم. ما حجمها؟

متعدد الخطوات

مكعب حجمه 64 سم³. ما مساحته الكلية؟

سياق حياتي سعودي

علب تمر على شكل متوازي مستطيلات أبعادها 20 × 10 × 5 سم. كم علبة تملأ صندوقًا أبعاده الداخلية 40 × 30 × 20 سم تمامًا؟