أي العبارات صحيحة إذا كانت A مصفوفة من الرتبة 2 × 3 و B من الرتبة 3 × 4، فأي العبارات صحيحة؟

AB معرّفة ورتبتها 2 × 4

AB غير معرّفة لأن الرتبتين مختلفتان

AB معرّفة ورتبتها 3 × 3

BA معرّفة ورتبتها 4 × 2

متعدد الخطوات المصفوفة A صفّها الأول (3, 1) وصفّها الثاني (5, 2). ما النظير الضربي A⁻¹؟

صفّها الأول (2, −1) وصفّها الثاني (−5, 3)

صفّها الأول (−2, 1) وصفّها الثاني (5, −3)

صفّها الأول (3, −1) وصفّها الثاني (−5, 2)

صفّها الأول (2, −5) وصفّها الثاني (−1, 3)

مقارنة كمية A مصفوفة من الرتبة 2 × 2 و det A = 3. القيمة الأولى: 2 det A القيمة الثانية: det(2A)

القيمة الثانية أكبر

القيمة الأولى أكبر

القيمتان متساويتان

المعطيات غير كافية

المصفوفات – شرح | التحصيلي — الرياضيات | أكاديمية دكتور دبور

الشكل ١: المصفوفات

المصفوفة أداة منظمة لتخزين الأعداد في صفوف وأعمدة، وتُستخدم في حل أنظمة المعادلات الخطية وحساب المساحات والتحويلات الهندسية. يركز اختبار التحصيلي على رتبة المصفوفة، والعمليات عليها، والمحددات، والنظير الضربي، وقاعدة كرامر.

أولًا: تعريف المصفوفة ورتبتها

المصفوفة ترتيب مستطيل من الأعداد (العناصر) داخل قوسين. إذا كان في المصفوفة m صفًا و n عمودًا فإن رتبتها m × n (الصفوف أولًا ثم الأعمدة)، وعدد عناصرها m × n.

العنصر a_ij هو العنصر الواقع في الصف i والعمود j. فمثلًا في المصفوفة:

2	-1	0
5	3	7

الرتبة 2 × 3، والعنصر a₂₃ = 7 (الصف الثاني، العمود الثالث)، والعنصر a₁₂ = -1.

أنواع خاصة

المصفوفة المربعة: عدد صفوفها يساوي عدد أعمدتها.
مصفوفة الصف (1 × n) ومصفوفة العمود (m × 1).
المصفوفة الصفرية: جميع عناصرها أصفار.
مصفوفة الوحدة I: مربعة، عناصر قطرها الرئيس 1 وبقية عناصرها 0، وتحقق A·I = I·A = A.

ومن المهم ملاحظة أن مصفوفة الوحدة تؤدي في ضرب المصفوفات دور العدد واحد في ضرب الأعداد، وأن المصفوفة الصفرية تؤدي دور الصفر في الجمع.

تساوي مصفوفتين: تتساوى مصفوفتان إذا كانت لهما الرتبة نفسها وكانت العناصر المتناظرة متساوية.

ثانيًا: الجمع والطرح والضرب في عدد

نجمع (أو نطرح) مصفوفتين من الرتبة نفسها فقط بجمع (أو طرح) العناصر المتناظرة.
الضرب في عدد ثابت k: نضرب كل عنصر في k.

ثالثًا: ضرب المصفوفات

يمكن ضرب A (رتبتها m × n) في B (رتبتها n × p) فقط إذا كان عدد أعمدة A يساوي عدد صفوف B، وتكون رتبة الناتج m × p.

العنصر في الصف i والعمود j من الناتج = مجموع حواصل ضرب عناصر الصف i من A في العناصر المناظرة من العمود j من B.

مثال محلول (1): إذا كانت A = [[1, 2], [3, 4]] و B = [[2, 0], [1, -1]] (كل قوس داخلي يمثل صفًا)، فأوجد AB.
الحل:
الصف 1 × العمود 1: 1(2) + 2(1) = 4 ، الصف 1 × العمود 2: 1(0) + 2(-1) = -2
الصف 2 × العمود 1: 3(2) + 4(1) = 10 ، الصف 2 × العمود 2: 3(0) + 4(-1) = -4
إذن AB = [[4, -2], [10, -4]].

تنبيه: ضرب المصفوفات ليس إبداليًا بوجه عام، أي أن AB ≠ BA غالبًا، وقد يكون أحدهما معرّفًا والآخر غير معرّف.

رابعًا: المحددات

محدد المصفوفة 2 × 2

إذا كانت A = [[a, b], [c, d]] فإن: |A| = ad - bc (حاصل ضرب القطر الرئيس ناقص حاصل ضرب القطر الآخر).

محدد المصفوفة 3 × 3

نستخدم الفك بالعوامل المرافقة على الصف الأول:

|A| = a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₁₂(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

مع ملاحظة نمط الإشارات: + ثم - ثم +. ويمكن أيضًا استخدام طريقة الأقطار بتكرار العمودين الأول والثاني.

خصائص مفيدة للمحددات

إذا بدّلنا موقعي صفين (أو عمودين) تتغير إشارة المحدد فقط.
إذا كان في المصفوفة صف كامل من الأصفار، أو صفان متساويان، فإن المحدد يساوي صفرًا.
محدد مصفوفة الوحدة يساوي 1، ومحدد حاصل ضرب مصفوفتين مربعتين يساوي حاصل ضرب محدديهما: |AB| = |A| × |B|.
إذا ضربنا مصفوفة من الرتبة 2 × 2 في عدد k فإن محددها يُضرب في k²، لأن كل صف من الصفين يُضرب في k.

هذه الخصائص تختصر الوقت كثيرًا في الاختبار، إذ يمكن أحيانًا معرفة قيمة المحدد دون أي حساب طويل، كأن نلاحظ أن صفين متساويان فنحكم مباشرة بأن المحدد صفر.

مساحة المثلث باستعمال المحددات

إذا كانت رؤوس المثلث (x₁, y₁) و (x₂, y₂) و (x₃, y₃) فإن المساحة = ½ × |D|، حيث D محدد المصفوفة التي صفوفها [x_i, y_i, 1].

$مثلث رؤوسه A(1,1) و B(5,2) و C(2,6)$

مثال محلول (2): أوجد مساحة المثلث ABC في الشكل.
الحل: D = محدد [[1, 1, 1], [5, 2, 1], [2, 6, 1]]
= 1(2 × 1 - 1 × 6) - 1(5 × 1 - 1 × 2) + 1(5 × 6 - 2 × 2)
= 1(-4) - 1(3) + 1(26) = 19.
المساحة = ½ × |19| = 9.5 وحدة مربعة.

خامسًا: النظير الضربي للمصفوفة

النظير الضربي A^-1 للمصفوفة المربعة A يحقق A·A^-1 = A^-1·A = I. للمصفوفة A = [[a, b], [c, d]]:

A^-1 = (1 / |A|) × [[d, -b], [-c, a]] ، بشرط |A| ≠ 0

أي: نبدّل عنصري القطر الرئيس، ونغيّر إشارتي عنصري القطر الآخر، ثم نقسم على المحدد. إذا كان |A| = 0 فالمصفوفة منفردة وليس لها نظير ضربي.

مثال محلول (3): أوجد النظير الضربي للمصفوفة A = [[3, 5], [2, 4]].
الحل: |A| = 3(4) - 5(2) = 2 ≠ 0.
A^-1 = ½ [[4, -5], [-2, 3]] = [[2, -2.5], [-1, 1.5]].

سادسًا: حل أنظمة المعادلات

1) معادلة المصفوفة

النظام يُكتب على الصورة AX = B حيث A مصفوفة المعاملات و X مصفوفة المتغيرات و B مصفوفة الثوابت، وحله X = A^-1B.

2) قاعدة كرامر

للنظام ax + by = e و cx + dy = f: نحسب D = ad - bc، ثم D_x باستبدال عمود معاملات x بعمود الثوابت، و D_y باستبدال عمود معاملات y بعمود الثوابت، فيكون x = D_x / D و y = D_y / D بشرط D ≠ 0.

مثال محلول (4): حل النظام 2x + y = 5 ، x - y = 1 بقاعدة كرامر.
الحل: D = 2(-1) - 1(1) = -3
D_x = 5(-1) - 1(1) = -6 ⇐ x = -6 / -3 = 2
D_y = 2(1) - 5(1) = -3 ⇐ y = -3 / -3 = 1
الحل (2, 1). تحقق: 2(2) + 1 = 5 ✓ و 2 - 1 = 1 ✓.

تطبيق حياتي

تستخدم المتاجر المصفوفات لتنظيم بياناتها؛ فإذا كانت مصفوفة الصف تمثل عدد القطع المبيعة من ثلاثة منتجات، ومصفوفة العمود تمثل سعر القطعة من كل منتج، فإن حاصل ضربهما يعطي إجمالي الإيرادات في عنصر واحد. ولهذا يجب أن يتطابق عدد المنتجات في المصفوفتين، وهو بالضبط شرط ضرب المصفوفات: عدد أعمدة الأولى يساوي عدد صفوف الثانية.

خدع شائعة

كتابة الرتبة بعكس الترتيب: الرتبة دائمًا (عدد الصفوف × عدد الأعمدة).
محاولة جمع مصفوفتين مختلفتي الرتبة، أو ضرب مصفوفتين لا يتساوى فيهما عدد أعمدة الأولى مع عدد صفوف الثانية.
افتراض أن AB = BA دائمًا.
في النظير الضربي: تغيير إشارة القطر الرئيس بدلًا من تبديله، أو نسيان القسمة على المحدد.
نسيان القيمة المطلقة ونصف المحدد عند حساب مساحة المثلث.
نسيان الإشارة السالبة للحد الأوسط عند فك محدد 3 × 3.

الخلاصة

الرتبة m × n، والعنصر a_ij في الصف i والعمود j.
الجمع والطرح لمصفوفات من الرتبة نفسها، والضرب في عدد يشمل كل العناصر.
(m × n)(n × p) = (m × p)، وضرب المصفوفات غير إبدالي.
|A| = ad - bc للمصفوفة 2 × 2، ومساحة المثلث = ½|D|.
A^-1 = (1/|A|)[[d, -b], [-c, a]]، ولا يوجد نظير إذا كان المحدد صفرًا.
كرامر: x = D_x/D و y = D_y/D.

المصفوفات – شرح