تحت درس 5-2-2: اللوغاريتمات وخواصها والمعادلات
مقدمة الدرس
هذا درس فرعي تابع لدرس الدوال الأسية واللوغاريتمية، ويغطي: اللوغاريتمات وخواصها والمعادلات.
يتضمن 50 سؤالًا متنوعة المستوى بين المتوسط والصعب العالي، منها أسئلة مبنية على رسومات أصلية.
اللوغاريتم ليس عملية غامضة بل سؤال عن الأس: لوغاريتم س على الأساس ب يساوي الصيغة التي تجعل ب مرفوعة إليها تساوي س. ومن فهم العكسية تُحفظ الخواص كلها بدل حفظها.
أولًا: تعريف اللوغاريتم
لوغاريتم س بالأساس ب يساوي ص إذا وفقط إذا كان ب أس ص يساوي س.
الأساس يجب أن يكون موجبًا ولا يساوي واحدًا، واللوغاريتم يُعرَّف للمقادير الموجبة فقط.
لوغاريتم الواحد صفر لكل أساس، ولوغاريتم الأساس نفسه واحد.
اللوغاريتم الطبيعي أساسه هـ، والعشري أساسه عشرة ويُكتب بدون أساس.
مجال اللوغاريتم الموجبات فقط، ومداه كل الأعداد الحقيقية.
ثانيًا: الخواص الثلاث
لوغاريتم الجداء يساوي مجموع لوغاريتمي العاملين، وهو ما يحوّل الضرب إلى جمع.
لوغاريتم الخارج يساوي فرق اللوغاريتمين: بسطًا ناقص مقام.
لوغاريتم القوة ينزل الأس مضاربًا أمام اللوغاريتم، وهذه خاصية تُستعمل كثيرًا في الحل.
الخواص تسري على المقادير الموجبة فقط، فلوغاريتم س مربعة ليس ضعف لوغاريتم س إلا إذا كانت س موجبة.
لا يوجد خاصية للوغاريتم المجموع: لوغاريتم أ زائد ب لا يتبسط أبدًا.
ثالثًا: تغيير الأساس والقيمة
لوغاريتم س بالأساس ب يساوي لوغاريتم س الطبيعي على لوغاريتم ب الطبيعي.
بهذه الصيغة تُحسب أي أساس على الآلة الحاسبة التي تعرف الأساسين عشرة وهـ فقط.
لوغاريتم أ بالأساس ب مضروبًا في لوغاريتم ب بالأساس أ يساوي واحدًا دائمًا.
الأساس الأكبر من واحد يجعل اللوغاريتم متزايدًا، والأساس بين صفر وواحد يجعله متناقصًا.
إشارة اللوغاريتم تتبع المقدار: ما بين صفر وواحد سالب، وما أكبر من واحد موجب.
رابعًا: حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية
في المعادلة الأسية: اعزل المقدار الأسي أولًا ثم خذ اللوغاريتم للطرفين.
إن تساوى الأساسان في الطرفين تساوى أسّاهما مباشرة، وهذا أسرع من اللوغاريتم.
في المعادلة اللوغاريتمية: اجمع الحدود في طرف واحد ثم اكتب الصورة الأسية.
كل ناتج يجب اختباره في المعادلة الأصلية، لأن التجميع قد يُدخل جذرًا دخيلًا يجعل المقدار غير موجب.
إذا ظهر الأس مجهولًا ومعلومًا في الحد نفسه، استعمل التعويض لتحويلها إلى معادلة تربيعية.
خامسًا: الرسم والعلاقة العكسية
الأسية واللوغاريتم دالتان عكسيتان، ومنحنياها متماثلان حول الخط س تساوي ع.
نطاق التقارب الرأسي للوغاريتم هو المحور الرأسي، فهو يقترب منه ولا يلمسه.
الإزاحة داخل اللوغاريتم أفقية ومعكوسة، والإزاحة خارجه رأسية كما تُقرأ.
الانعكاس حول المحور الأفقي يحوّل اللوغاريتم إلى لوغاريتم المعكوس، أي إشارة سالبة.
مقياس ريختر ودرجة الحموضة مثالان حقيقيان على استخدام اللوغاريتم لضغط مدى واسع.
الشكل التوضيحي للدرس
الشكل ١: اللوغاريتم وعكسها الأسّي
مثال محلول خطوة بخطوة
حل المعادلة: ثلاثة أس (س زائد واحد) يساوي أربعين.
- نقسم الطرفين على ثلاثة ليصبح المقدار الأسي معزولًا: ثلاثة أس (س زائد واحد) يساوي 13.33.
- نأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين: (س زائد واحد) في لوغاريتم ثلاثة يساوي لوغاريتم 13.33.
- لوغاريتم 13.33 يقارب 2.59 ولوغاريتم ثلاثة يقارب 1.10.
- س زائد واحد يساوي 2.36 تقريبًا بطرح القسمة.
- نطرح الواحد من الطرفين فنحصل على قيمة س.
الجواب: س يقارب 1.36، وبالتعويض في المعادلة الأصلية يعود الناتج إلى أربعين تقريبًا.
أخطاء شائعة في اختبار التحصيلي
- توزيع اللوغاريتم على الجمع أو الطرح داخل المقدار.
- نسيان عزل المقدار الأسي قبل أخذ اللوغاريتم فيبقى الحد مضروبًا.
- قبول جذر يجعل ما داخل اللوغاريتم صفرًا أو سالبًا دون اختباره.
- الخلط بين لوغاريتم الجداء ولوغاريتم المجموع.
- اعتبار لوغاريتم س مربعة يساوي ضعف لوغاريتم س إطلاقًا.
- استعمال أساس في القانون وأساس آخر في الحساب عند تغيير الأساس.