تحت درس 5-3-1: الدائرة والقطع المكافئ
مقدمة الدرس
هذا درس فرعي تابع لدرس القطوع المخروطية، ويغطي: الدائرة والقطع المكافئ.
يتضمن 50 سؤالًا متنوعة المستوى بين المتوسط والصعب العالي، منها أسئلة مبنية على رسومات أصلية.
القطوع المخروطية كلها مكان هندسي لمجموعة نقاط تحقق شرطًا واحدًا. في الدائرة الشرط ثابت المسافة، وفي القطع المكافئ الشرط بعدان متساويان: عن نقطة وعن خط.
أولًا: معادلة الدائرة
الصيغة القياسية: (س ناقص ص) مربعة زائد (ع ناقص ط) مربعة يساوي نق تربيع.
المركز هو (ص، ط) ونصف القطر هو الجذر التربيعي للطرف الأيمن.
الصيغة العامة تحتوي س مربعة وع مربعة بمعامل واحد، وحدود خطية، وحدًا ثابتًا.
نكمل المربع لكل متغير على حدة لنحوّل العامة إلى القياسية، ثم نوازن الحد الثابت.
إن خرج مربع نصف القطر سالبًا فالمجموعة خالية، وإن خرج صفرًا فهي نقطة واحدة.
ثانيًا: العناصر والإحداثيات
أطول وتر في الدائرة هو القطر، وقيمته ضعف نصف القطر ويمر بالمركز.
العمود النازل من المركز على وتر ينصفه، وهذه الخاصية أكثر ما يُستعمل في المسائل.
المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس، فلا يمر بالمركز أبدًا.
إذا عُلم طرفا قطر فالمركز هو نقطة المنتصف ونصف القطر نصف المسافة بينهما.
معادلة الدائرة المارة بثلاث نقاط تُحل بنظام من ثلاثة مجهولات بعد تعويض النقاط.
ثالثًا: القطع المكافئ وبنيته
القطع المكافئ مكان نقاط بعدها عن نقطة ثابتة (البؤرة) يساوي بعدها عن خط ثابت (الدليل).
صورته الرأسية: ع ناقص ك تساوي أربعة أ (س ناقص ص) مربعة، ورأسها (ص، ك).
أ هي المسافة من الرأس إلى البؤرة، وإشارتها تحدد اتجاه الفتح.
في الصورة الأفقية يتبادل س وع الأدوار فيفتح القطع يمينًا أو يسارًا.
الخط المار بالبؤرة وعمودي على محور التماثل يقطع القطع في وتر طوله أربعة أ.
رابعًا: إيجاد العناصر من المعادلة
حوّل إلى القياسية بإكمال المربع للمتغير المربع وحده.
المعامل أمام القوس يساوي أربعة أ، فالقسمة عليه تُعطي أ مباشرة.
البؤرة تُزاح عن الرأس بمقدار أ في اتجاه المحور الذي عليه الحد المربع.
الدليل خط عمودي على محور التماثل على المسافة نفسها في الاتجاه المعاكس.
اتساع الفتحة يقاس بـ أ: كلما كبرت أ اتسعت الفتحة وبعدت البؤرة عن الرأس.
خامسًا: اختيار القطع من معادلته
س وع كلاهما مربع بنفس المعامل: دائرة، وبمعاملين مختلفين بنفس الإشارة: قطع ناقص.
مربع واحد فقط والمتغير الآخر خطي: قطع مكافئ.
مربعان بإشارتين مختلفتين: قطع زائد.
لا تحكم من الشكل قبل ترتيب المعادلة ومعامليها، فقد تكون دائرة بعد القسمة على ثابت.
التماثل يختبر بسرعة: استبدل س بسالب س، فإن لم تتغير المعادلة فمحور التماثل رأسي.
الشكل التوضيحي للدرس
الشكل ١: الدائرة والقطع المكافئ
مثال محلول خطوة بخطوة
أوجد مركز الدائرة ونصف قطرها من المعادلة: س مربعة زائد ع مربعة ناقص ستة س زائد ثمانية ع زائد تسعة يساوي صفرًا.
- نجمع حدود س معًا وحدود ع معًا وننقل الثابت إلى الطرف الآخر.
- نكمل المربع في س بإضافة تسعة، وفي ع بإضافة ستة عشر.
- أضفنا خمسة وعشرين إلى الطرف الأيسر فنضيف مثلها إلى الأيمن الذي كان سالب تسعة.
- يصير الطرف الأيمن ستة عشر، وهو مربع نصف القطر.
- نأخذ الجذر التربيعي فنجد نصف القطر، ونقرأ المركز من إشارتي القوسين.
الجواب: المركز (ثلاثة، سالب أربعة)، ونصف القطر أربعة.
أخطاء شائعة في اختبار التحصيلي
- إكمال المربع دون قسمة المعامل الرئيسي على الواحد أولًا.
- نسيان إضافة ما أُكمل به المربع إلى الطرف الآخر من المعادلة.
- قراءة إشارة المركز كما هي في المعادلة العامة بدل عكسها.
- حساب البؤرة في القطع المكافئ بإضافة أ بدل قسمة المعامل عليه.
- اعتبار كل معادلة فيها مربعان دائرةً بلا مقارنة المعاملين.
- الخلط بين المحور الأفقي والرأسي عند تحديد موضع البؤرة في القطع.