تحت درس 6-1-1: حساب النهايات جبريًا ورسميًا
مقدمة الدرس
هذا درس فرعي تابع لدرس النهايات، ويغطي: حساب النهايات جبريًا ورسميًا.
يتضمن 50 سؤالًا متنوعة المستوى بين المتوسط والصعب العالي، منها أسئلة مبنية على رسومات أصلية.
النهاية تسأل عن إلى أين تذهب القيم حين تقترب المدخلات من عدد، لا عن القيمة عند ذلك العدد نفسه. ولهذا يمكن أن توجد النهاية للدالة في نقطةٍ غير معرّفة أصلًا فيها.
أولًا: معنى النهاية رمزيًا
العبارة: عندما يقترب المدخل من أ فإن الدالة تقترب من ل، وتعني أن القيم تقترب من ل مهما صغر الفاصل المطلوب.
الاقتراب من الطرفين معًا هو المطلوب: يقترب المدخل من أ من اليمين ومن اليسار.
القيمة الفعلية للدالة عند أ لا تدخل في حساب النهاية إطلاقًا.
إذا لم تقترب القيم من عدد واحد محدد فإن النهاية تُوصف بأنها غير موجودة.
النهاية عدد وليست نقطة على المنحنى، وقد لا يلمسها المنحنى أبدًا.
ثانيًا: التعويض المباشر أول خطوة
الدوال كثيرة الحدود متصلة في كل مكان، فنهايتها عند أي عدد هي قيمة التعويض المباشر.
الدوال الكسرية لها نهاية عند كل نقطة لا يصير فيها المقام صفرًا.
التعويض المباشر ينجح أيضًا في الجذور والقيم المطلقة إذا لم تُسبّب صفرًا داخل جذر تربيعي.
النتيجة الصريحة عند التعويض تعني أن النهاية موجودة وتساويها فورًا.
النتيجة غير الصريحة — صفر على صفر أو ما لا نهاية على ما لا نهاية — تعني أن التعويض فشل لا أن النهاية معدومة.
ثالثًا: الحيل الجبرية للحالات غير المحددة
التحليل يزيل العامل المشترك الصفري ثم يعوّض عن الناتج المبسّط.
الضرب في المرافق يزيل الجذر الذي يسبب الصفر في المقام أو البسط.
توحيد المقامات هو العلاج الجاهز للنهايات التي تحتوي كسورًا مركبة.
في النهاية عند اللانهاية نقسم على أعلى قوة ظاهرة في المقام.
النهايات المثلثية المعيارية: جيب الزاوية على الزاوية يساوي واحدًا، وقريبها جيب تمام الزاوية على الزاوية يساوي واحدًا عند الصفر.
رابعًا: النهايات الجانبية
النهاية اليمنى تُحسب بقيم أكبر قليلًا من العدد، واليسرى بقيم أصغر قليلًا.
النهاية موجودة إذا وتسوية فقط إذا تساوت النهايتان الجانبيتان.
الدوال المعرفة تفريقيًا تحتاج فحص الطرفين عند نقطة الانتقال.
القيمة المطلقة تُنتج منحنيين بميلين متقابلين، فتُفحص جانبيًا عند الصفر الداخلي.
الدالة الخطوة تُعطي قفزتين قيميتين مختلفتين، وهي أشهر مثال على نهاية غير موجودة.
خامسًا: القراءة من الرسم
الثقب على المنحنى يعني نهاية موجودة وقيمة غير معرّفة عند النقطة.
الخط الرأسي المتقطع يعني أن القيم تهرب، فالنهاية غير موجودة بالمعنى المحدود.
القفزة الرأسية تُرى مباشرةً باختلاف ارتفاع الفرعين عند العدد نفسه.
اقتراب المنحنى من مستوى ثابت عند طرفي المحور الأفقي يعني نهاية عند اللانهاية.
الرسم يعطي التخمين، والجبر يعطي التحقق: لا تُقبل قراءة العين وحدها في مسألة حسابية.
الشكل التوضيحي للدرس
الشكل ١: الثقب والقفزة: نهاية موجودة وأخرى معدومة
مثال محلول خطوة بخطوة
أوجد نهاية الدالة: س تربيع ناقص واحد، على س ناقص واحد، عندما يقترب س من واحد.
- التعويض المباشر يعطي صفرًا على صفر، فهي حالة غير محددة تحتاج تبسيطًا.
- البسط فرق مربعين، فيتحلل إلى: س ناقص واحد في س زائد واحد.
- نحذف العامل المشترك س ناقص واحد مع بقاء الشرط أن س لا يساوي واحدًا.
- الدالة المبسطة هي س زائد واحد، وهي كثيرة حدود قابلة للتعويض المباشر.
- بالتعويض عن واحد في س زائد واحد تكون النتيجة اثنين.
الجواب: النهاية تساوي اثنين، مع أن الدالة غير معرّفة عند واحد نفسه؛ الرسم يظهر ثقبًا عند الارتفاع اثنين.
أخطاء شائعة في اختبار التحصيلي
- رفض النهاية لمجرد أن الدالة غير معرّفة عند النقطة.
- التعويض في صورة صفر على صفر وإعلان النتيجة صفرًا.
- الاختصار ثم التعويض في القيمة المحذوفة بدل الاقتراب منها.
- فحص جانب واحد من الدالة المعرفة تفريقيًا والتعميم عليه.
- استعمال نهاية جيب الزاوية على الزاوية عندما تكون الزاوية بالدرجات.
- قراءة الارتفاع من الرسم وإهمال اختلاف الفرعين الأيمن والأيسر.