تحت درس 6-1-2: النهايات غير المنتهية والاستمرارية
مقدمة الدرس
هذا درس فرعي تابع لدرس النهايات، ويغطي: النهايات غير المنتهية والاستمرارية.
يتضمن 50 سؤالًا متنوعة المستوى بين المتوسط والصعب العالي، منها أسئلة مبنية على رسومات أصلية.
بعض النهايات لا تستقر عند عدد: إما أن تهرب القيم إلى ما لا نهاية، أو أن المنحنى ينقطع انقطاعًا يمنع الاستمرار. والتمييز بين الهرب والانقطاع والثقب هو لبّ هذا الدرس.
أولًا: النهايات اللانهاية
قولنا إن النهاية تساوي ما لا نهاية يعني أن قيم الدالة تكبر بلا حد، لا أنها تساوي عددًا.
القيمة تزداد بلا نهاية عندما يقترب المدخل من صفر المقام من اليمين، وتنقص بلا نهاية من اليسار.
النهاية اللانهاية تُعدّ نهاية غير موجودة بالمعنى الدقيق، لأن العدد المطلوب محدود.
الإشارة تُحدد من إشارة المقام بعد التعويض بالقيم القريبة.
النهاية عند اللانهاية سؤال مختلف: المدخل يهرب، والقيمة قد تستقر عند عدد.
ثانيًا: خطوط التقارب
الخط الرأسي عند صفر المقام الكسري هو خط تقارب رأسي.
خط التقارب الرأسي لا يقطعه المنحنى أبدًا، لكنه يقترب منه بلا نهاية.
في الدالة الكسرية المتساوية الدرجات يكون التقارب الأفقي نسبة المعاملين الرئيسيين.
إذا كانت درجة البسط أقل، فالتقارب الأفقي هو المحور الأفقي نفسه؛ وإذا كانت أعلى فالتقارب مائل أو معدوم.
خط التقارب المائل يُستخرج بالقسمة الطويلة، ودرجته تساوي فرق الدرجتين واحدًا بالضبط.
ثالثًا: شرط الاستمرار الثلاثي
الدالة مستمرة عند نقطة إذا كانت معرّفة فيها.
ولابد أن تكون النهاية عند تلك النقطة موجودة.
النهاية يجب أن تساوي القيمة المعرّفة، فالمساواة هي الشرط الثالث.
انتهاك الشرط الأول أو الثالث مع وجود النهاية يعطي ثقبًا قابلًا للإزالة.
انتهاك الشرط الثاني يعطي قفزة أو تقاربًا رأسيًا، وكلاهما غير قابل للإزالة.
رابعًا: الاستمرار على فترة
الاستمرار على فترة مفتوحة يعني الاستمرار عند كل نقطة منها.
على فترة مغلقة تُطلب نهايات جانبية عند الطرفين: مستمرة من اليمين عند البداية ومن اليسار عند النهاية.
كثيرة الحدود والدوال الجيبية وجيب التمام مستمرة في كل الأعداد الحقيقية.
الجذر التربيعي مستمر على مجاله بما فيه الصفر، من جهة واحدة فقط.
الدالة الكسرية مستمرة على كل فترة لا تحتوي صفرًا لمقامها.
خامسًا: تطبيق نظرية القيمة المتوسطة
إذا كانت الدالة مستمرة على فترة مغلقة، وتأخذ قيمتين إشارتيهما مختلفتان عند الطرفين، فهي تصفرا داخلها.
النظرية تضمن وجود الجذر ولا تعطي موضعه، ولا تُطبق قبل التحقق من الاستمرار.
تغيير الإشارة بين طرفين كافٍ لتطبيقها على معادلة من صورة: الدالة ناقص العدد المطلوب.
كثيرة حدود فردية الدرجة تنقلب إشارتها بين طرفين بعيدين، فلها جذر حقيقي واحد على الأقل.
النظرية تُعطي عددًا من الفترات بقدر ما نجد من تغيّرات في الإشارة.
الشكل التوضيحي للدرس
الشكل ١: تقارب رأسي عند الاثنين، وتقارب أفقي عند الثلاثة
مثال محلول خطوة بخطوة
الدالة الكسرية: واحد على س ناقص اثنين. أصف سلوكها قرب الاثنين، ثم أحدد نوع الانقطاع عند تلك النقطة.
- المقام يصير صفرًا عند اثنين، والدالة غير معرّفة هناك.
- بالاقتراب من اثنين من اليسار يكون المقام سالبًا صغيرًا، فتذهب القيم إلى النقص بلا نهاية.
- بالاقتراب من اثنين من اليمين يكون المقام موجبًا صغيرًا، فتذهب القيم إلى الزيادة بلا نهاية.
- النهايتان الجانبيتان غير متساويتين بل كلتاهما هاربة، فالنهاية غير موجودة.
- الخط الرأسي عند الاثنين هو خط تقارب، والانقطاع من النوع اللاقابل للإزالة.
الجواب: عند اثنين تقارب رأسي: الفرع الأيسر يهبط بلا نهاية والأيمن يصعد بلا نهاية، والانقطاع غير قابل للإزالة.
أخطاء شائعة في اختبار التحصيلي
- اعتبار ما لا نهاية عددًا يمكن المقارنة به في العمليات.
- خلط النهاية عند اللانهاية بالنهاية اللانهاية.
- رسم تقارب أفقي لنسبة المعاملين عندما تكون درجة البسط أعلى.
- التحقق من وجود النهاية ونسيان مقارنة قيمتها بالقيمة المعرّفة.
- تطبيق نظرية القيمة المتوسطة على دالة غير مستمرة على الفترة.
- افتراض أن النظرية تعطي موقع الجذر أو تعطي جذرًا واحدًا فقط.