The derivative of $f(x) = 5^{x^2}$ with respect to $x$ is:

B) $2x \cdot 5^{x^2} \cdot \ln 5$

The sum of the first n terms of an arithmetic sequence (S_n) is formulated as:

S_n = n / 2 * [ 2a + (n - 1) * d ] = n / 2 * [ a + l ]

The sum to infinity (S_infinity) of a geometric series exists and converges if and only if the common ratio satisfies:

|r| < 1 (i.e. -1 < r < 1), and S_infinity = a / (1 - r)

كيف يحسب الرقم الهيدروجيني pH للمحاليل؟ How to calculate pH and pOH?

يحسب الرقم الهيدروجيني بالعلاقة: pH = -log[H⁺]، وللمحاليل المائية عند 25°C: pH + pOH = 14. إذا كان pH 7 فالمحلول قاعدي. [الصيغة الرمزية الموزونة: pH = -log[H⁺] | pOH = -log[OH⁻] | pH + pOH = 14 | [H⁺][OH⁻] = 10⁻¹⁴]

Leçon 1 : Salutations, politesse et présentation personnelle

Q: كيف يحسب الرقم الهيدروجيني pH للمحاليل؟ How to calculate pH and pOH?

يحسب الرقم الهيدروجيني بالعلاقة: pH = -log[H⁺]، وللمحاليل المائية عند 25°C: pH + pOH = 14. إذا كان pH 7 فالمحلول قاعدي. [الصيغة الرمزية الموزونة: pH = -log[H⁺] | pOH = -log[OH⁻] | pH + pOH = 14 | [H⁺][OH⁻] = 10⁻¹⁴]

Greet people formally and informally, and choose the right formula for the time of day and the person addressed.
Introduce yourself and present another person: name, age, nationality and place of residence.
Conjugate and use être, avoir, aller and s'appeler in the present tense.
Use the transport prepositions en and à, the verb prendre, the definite and indefinite articles and the main question words.

🌳 Concept tree

Leçon 1 — Salutations, politesse et présentation
├── First: formal and informal greetings
├── Second: asking after someone (vous / tu)
├── Third: introducing yourself (nom, âge, nationalité, résidence)
├── Fourth: the verb être
├── Fifth: the verb avoir
├── Sixth: the verbs aller and s'appeler
├── Seventh: means of transport (en / à) and prendre
├── Eighth: definite and indefinite articles
├── Ninth: the key question words
├── Worked examples
└── Exam traps

01 Learning objectives

Know that French greeting habits follow strict cultural conventions that depend on the level of formality and on the time of day.
Address an adult or a stranger with respect, and switch to the familiar register with friends and family.
Give personal information in correct French sentences with the right verb.

02 First: formal and informal greetings

Formal salutations

Bonjour is used in the morning and in the afternoon when addressing an adult or an unknown person with respect: "Bonjour Monsieur", "Bonjour Madame".
In the evening one says Bonsoir.
To take leave solemnly: Au revoir or Bonne journée.

Informal salutations

Between friends, classmates and family the most common word is Salut ! — used both on arriving and on leaving — or Coucou !
To take leave quickly: À plus tard, À bientôt, Tchao !

03 Second: asking after someone — vous and tu

Polite form (vouvoiement): "Comment allez-vous ?"
Familiar forms: "Comment vas-tu ?" or simply "Ça va ?"
Answers: "Je vais bien, merci" / "Ça va bien" / "Comme ci, comme ça"; the return question is "Et vous ?" or "Et toi ?".
Rule: vous for an adult, a stranger or a teacher; tu for a friend, a child or a family member.

04 Third: introducing yourself and presenting others

Name: "Je m'appelle Rami" / "Je me nomme Rami"; presenting someone else: "C'est monsieur Jean", "Voici ma sœur".
Age — with AVOIR: "J'ai 14 ans" (never "je suis 14 ans").
Nationality — with ÊTRE and no article: "Je suis égyptien" / "Elle est française".
Residence: "J'habite au Caire, en Égypte".
Useful links: "Je suis élève en première seconde", "Je parle arabe et français".

05 Fourth: the verb ÊTRE (irregular, 3rd group)

Conjugation in the present: je suis, tu es, il/elle est, nous sommes, vous êtes, ils/elles sont.
Uses: identity, profession ("Je suis étudiant"), nationality, quality with an adjective ("Elle est gentille"), and location of a thing ("Le livre est sur la table").

06 Fifth: the verb AVOIR (irregular, 3rd group)

Conjugation: j'ai, tu as, il/elle a, nous avons, vous avez, ils/elles ont.
Uses: age ("J'ai 15 ans"), possession ("J'ai un vélo") and physical sensations ("J'ai faim", "J'ai soif", "J'ai chaud", "J'ai mal à la tête").
Note the elision: je becomes j' before a vowel — j'ai, j'habite, j'appelle.

07 Sixth: the verbs ALLER and S'APPELER

ALLER: je vais, tu vas, il/elle va, nous allons, vous allez, ils/elles vont — used for movement and for health ("Je vais bien"), and to build the near future (aller + infinitive: "Je vais étudier").
S'APPELER (pronominal): je m'appelle, tu t'appelles, il/elle s'appelle, nous nous appelons (one l), vous vous appelez (one l), ils/elles s'appellent (two l).
The reflexive pronouns go before the verb: me/m', te/t', se/s', nous, vous, se/s'.

08 Seventh: means of transport and the rule of EN and À

Vocabulary

le métro, le bus / l'autobus, la voiture, le taxi, le train / le TGV, l'avion, le bateau / le ferry, le vélo / la bicyclette, la moto, and à pied (on foot).

The golden rule

EN is used without an article before closed vehicles the user enters: en train, en voiture, en métro, en avion, en bus.
À is used before open or two-wheeled means of transport: à vélo, à moto, à pied, à cheval.
With the verb prendre never use a preposition — always the definite article: "Je prends le bus", "Elle prend le métro", "Nous prenons le taxi".

09 Eighth: definite and indefinite articles

Definite: le (masculine), la (feminine), l' before a vowel or a mute h, les (plural).
Indefinite: un (masculine), une (feminine), des (plural).
Gender is memorised with the noun: le bus but la voiture; un professeur (m.) but une étudiante (f.).
Professions after être take no article: "Je suis professeur", but the article returns with an adjective: "Je suis un professeur sévère".

10 Ninth: the key question words

Comment — manner, state, transport: "Comment tu vas à l'école ? — En métro." / "Comment allez-vous ?"
Où — place: "Où habites-tu ? — Au Caire."
Quel / Quelle / Quels / Quelles — which, agreeing with the noun: "Quel âge as-tu ?" / "Quelle est ta nationalité ?"
Qui est-ce ? — for a person; Qu'est-ce que c'est ? — for an object.
Quand (time), Pourquoi (reason) and Combien (quantity) complete the set.
Three ways to ask: intonation ("Tu vas à l'école ?"), Est-ce que ("Est-ce que tu vas à l'école ?"), and inversion ("Vas-tu à l'école ?").

11 Worked examples

Put the verb in the right form: "Nous ____ à l'école." → allons (aller, nous).
Choose the preposition: "Je vais au lycée ____ bus." → en (closed vehicle).
Rewrite with prendre: "Je vais à l'école en bus." → "Je prends le bus pour aller à l'école."
Correct the mistake: "Je suis 14 ans." → "J'ai 14 ans" (age uses avoir).
Complete the dialogue in the polite form: "____ ____, Madame ? — Je vais bien, merci." → "Comment allez-vous".

12 Exam traps and key takeaways

💡 High-yield traps

Bonjour becomes Bonsoir in the evening — but "bonsoir" is also used when greeting, not only when leaving.
Salut serves for both hello and goodbye, but only in the informal register.
Age takes avoir, nationality takes être with no article.
We write "nous nous appelons" and "vous vous appelez" with a single l, but "ils s'appellent" with two.
en + vehicle without article; à + bike, horse, foot; prendre + definite article and no preposition.
l' is used before a vowel or mute h for both le and la: l'avion, l'école.
Quel agrees in gender and number (Quelle âge is wrong: âge is masculine → Quel âge).
In the question "Comment allez-vous ?" the verb is aller, not être.
Never begin a sentence with the subject pronoun alone in the interrogative inversion: "Vas-tu…" keeps the hyphen.

Leçon 1: Greetings, Politeness, Personal Introduction and the Verb être

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