الرياضيات
بنك الأسئلة
150 سؤال · الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)
س35الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)
إذا كان العدد المركب z = cos(θ) + i sin(θ)، فوفق نظرية دي موافر (De Moivre's Theorem)، ما هي الصورة الجبرية للعدد z4، وما هي خاصية الجذور التكعيبية للواحد الصحيح (1, ω, ω²)؟
أمجموع الجذور التكعيبية للواحد الصحيح يساوي 3 دائماً
بz4 = cos(4θ) + i sin(4θ)، ومجموع الجذور التكعيبية للواحد الصحيح يساوي صفراً دائماً (1 + ω + ω² = 0)، وحاصل ضربها = 1 (ω³ = 1)
جz4 = cos4(θ) + i sin4(θ)
دz4 = 4 (cos θ + i sin θ)
الإجابة الصحيحة: ب z4 = cos(4θ) + i sin(4θ)، ومجموع الجذور التكعيبية للواحد الصحيح يساوي صفراً دائماً (1 + ω + ω² = 0)، وحاصل ضربها = 1 (ω³ = 1)
التفسير: تنص نظرية دي موافر على أن: [r(cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ (cos(nθ) + i sin(nθ)). والجذور التكعيبية للواحد الصحيح هي: 1، و ω = -1/2 + (√3/2)i، و ω² = -1/2 - (√3/2)i. ومن أهم خواصها الجبرية: 1 + ω + ω² = 0، و ω³ = 1، و ω⁴ = ω، و 1/ω = ω².
الدرس المرتبط
الدرس الأول: مبدأ العد والتباديل والتوافيق ونظرية ذات الحدينالفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)