الرياضيات البحتة — الصف الثالث الثانوي
بنك الأسئلة
100 سؤال · الوحدة الثالثة: الهندسة والقياس في بعدين وثلاثة أبعاد
س81الوحدة الثالثة: الهندسة والقياس في بعدين وثلاثة أبعاد
إذا كان العدد المركب z = cos(θ) + i sin(θ)، فوفق نظرية دي موافر (De Moivre's Theorem)، ما هي الصورة الجبرية للعدد z6، وما هي خاصية الجذور التكعيبية للواحد الصحيح (1, ω, ω²)؟
أz6 = 6 (cos θ + i sin θ)
بمجموع الجذور التكعيبية للواحد الصحيح يساوي 3 دائماً
جz6 = cos(6θ) + i sin(6θ)، ومجموع الجذور التكعيبية للواحد الصحيح يساوي صفراً دائماً (1 + ω + ω² = 0)، وحاصل ضربها = 1 (ω³ = 1)
دz6 = cos6(θ) + i sin6(θ)
الإجابة الصحيحة: ج z6 = cos(6θ) + i sin(6θ)، ومجموع الجذور التكعيبية للواحد الصحيح يساوي صفراً دائماً (1 + ω + ω² = 0)، وحاصل ضربها = 1 (ω³ = 1)
التفسير: تنص نظرية دي موافر على أن: [r(cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ (cos(nθ) + i sin(nθ)). والجذور التكعيبية للواحد الصحيح هي: 1، و ω = -1/2 + (√3/2)i، و ω² = -1/2 - (√3/2)i. ومن أهم خواصها الجبرية: 1 + ω + ω² = 0، و ω³ = 1، و ω⁴ = ω، و 1/ω = ω².
الدرس المرتبط
المتجهات في الفراغ والضرب القياسي والاتجاهيالوحدة الثالثة: الهندسة والقياس في بعدين وثلاثة أبعاد