الدرس 2 - عزم الازدواج المغناطيسي وأجهزة القياس الكهربي

• عزم الازدواج المغناطيسي (Magnetic Torque - τ): عزم قوتين متساويتين في المقدار ومتضادتين في الاتجاه وخطا عملهما ليسا على استقامة واحدة ينشأ عند مرور تيار في ملف مستطيل قابل للدوران في مجال مغناطيسي، ووحدته (N.m).
• عزم ثنائي القطب المغناطيسي (md): كمية متجهة تمثل عزم الازدواج المؤثر على ملف مستواه موازٍ لمجال مغناطيسي كثافة فيضه 1 تسلا، واتجاهه عمودي دائماً على مستوى الملف ويحسب من العلاقة: \[\begin{gathered}\,\text{md} = I \times A \times N\end{gathered}\] ووحدته (A.m² أو N.m / T).
• الجلفانومتر الحساس ذو الملف المتحرك: جهاز كهربي يعتمد على عزم الازدواج المغناطيسي، يستخدم في الاستدلال على وجود التيارات الكهربية المستمرة شديدة الضعف وتحديد اتجاهها وقياس شدتها بدقة فائقة.
• مجزئ التيار (Shunt Resistor - Rs): مقاومة صغيرة جداً توصل على التوازي مع ملف الجلفانومتر لتحويله إلى أميتر تيار مستمر؛ فتقلل المقاومة الكلية للجهاز وتزيد من مدى قياسه للتيارات الكبيرة وتحميه من التلف والانصهار.
• مضاعف الجهد (Multiplier Resistor - Rm): مقاومة كبيرة جداً توصل على التوالي مع ملف الجلفانومتر لتحويله إلى فولتميتر؛ فتزيد من المقاومة الكلية للجهاز وتزيد من مدى قياسه لفروق الجهد العالية ولا تسحب إلا تياراً ضئيلاً لا يؤثر على الدائرة.
• الأوميتر (Ohmmeter): جهاز يستخدم لقياس قيمة مقاومة كهربية مجهولة (Rx) بطريقة مباشرة، وتدريجه عكسي وغير منتظم لأن شدة التيار تتناسب عكسياً مع المقاومة الكلية للجهاز والمجهولة معاً \[\begin{gathered}\left(\dfrac{I \propto 1}{R_{\,\text{device}} + \,\text{Rx}}\right)\end{gathered}\].

• قانون عزم الازدواج المغناطيسي: [ الصيغة الكيميائية والرياضية: \[\begin{gathered}τ = B \times I \times A \times N \times \sin (\theta ) ]\end{gathered}\] انتبه للزاوية θ: هي الزاوية المحصورة بين العمودي على مستوى الملف وخطوط المجال المغناطيسي (أو الزاوية بين عزم ثنائي القطب والمجال). يكون عزم الازدواج قيمة عظمى عندما يكون مستوى الملف موازياً للمجال (θ = 90°).
• قانون مجزئ التيار للأميتر: [ الصيغة الكيميائية والرياضية: \[\begin{gathered}\,\text{Rs} = \dfrac{\,\text{Ig} \times \,\text{Rg}}{I - \,\text{Ig}} ]\end{gathered}\] حيث Rg مقاومة الجلفانومتر، Ig أقصى تيار يتحمله الجلفانومتر، I أقصى تيار يراد قياسه بالأميتر.
• قانون مضاعف الجهد للفولتميتر: [ الصيغة الكيميائية والرياضية: \[\begin{gathered}\,\text{Rm} = \dfrac{V - \,\text{Vg}}{\,\text{Ig}} = \dfrac{V - \,\text{Ig} \times \,\text{Rg}}{\,\text{Ig}} ]\end{gathered}\] حيث V أقصى فرق جهد يراد قياسه، Vg أقصى فرق جهد يتحمله الجلفانومتر.
• معادلة الأوميتر وانحراف التدريج: [ الصيغة الكيميائية والرياضية: \[\begin{gathered}\dfrac{I}{I_{\,\text{max}}} = \dfrac{R_{\,\text{device}}}{R_{\,\text{device}} + \,\text{Rx}} ]\end{gathered}\] عند انحراف المؤشر إلى \(\left(\dfrac{1}{n}\right)\) من التدريج: \[\begin{gathered}\,\text{Rx} = (n - 1) \times R_{\,\text{device}}\end{gathered}\].

عند وضع ملف مستطيل يمر به تيار في مجال مغناطيسي منتظم، يتأثر الضلعان الطوليان الموازيان لمحور الدوران بقوتين مغناطيسيتين متساويتين في المقدار ومتضادتين في الاتجاه وخطا عملهما ليسا على استقامة واحدة، فينشأ بينهما عزم ازدواج يعمل على تدوير الملف حول محوره.

المعادلة الرياضية: \[\begin{gathered}τ = B \times I \times A \times N \times \sin (\theta )\end{gathered}\].

• أهم فنية امتحانية في الفيزياء: الزاوية θ في قانون عزم الازدواج هي الزاوية بين (العمودي على مستوى الملف) والمجال، وليست زاوية الملف نفسه!
• لذلك:

• عندما يكون مستوى الملف موازياً لخطوط المجال المغناطيسي: يكون العمودي عليه عمودياً على المجال (θ = 90°)، ويكون عزم الازدواج قيمة عظمى \[\begin{gathered}(τ_{\,\text{max}} = \,\text{BIAN})\end{gathered}\].

• عندما يكون مستوى الملف عمودياً على خطوط المجال: يكون العمودي عليه موازياً للمجال (θ = 0°)، وينعدم عزم الازدواج تماماً (τ = 0) لأن خطي عمل القوتين يصبحان على استقامة واحدة.

• عزم ثنائي القطب المغناطيسي (md): كمية متجهة دائماً عمودية على مستوى الملف باتجاه يحدده قاعدة اليد اليمنى لأمبير أو البريمة اليمنى.
• ومقداره \[\begin{gathered}\,\text{md} = I \times A \times N\end{gathered}\] ولا يعتمد إطلاقاً على زاوية دوران الملف ولا على كثافة الفيض الخارجي B، بل هو خاصية ذاتية للملف نفسه.

• الجلفانومتر الحساس: يرتكز ملفه المستطيل بين قطبي مغناطيس مقعرين مع وجود أسطوانة من الحديد المطاوع في المركز.
• دور القطبين المقعرين وأسطوانة الحديد المطاوع حيوي جداً في الامتحانات: يجعلان خطوط الفيض المغناطيسي على هيئة أنصاف أقطار في الحيز الذي يتحرك فيه الملف، فتكون خطوط الفيض موازية دائماً لمستوى الملف في أي موضع يدور إليه، فيظل عزم الازدواج المؤثر عليه ثابتاً وقيمة عظمى دائماً عند أي زاوية انحراف، مما يجعل تدريج الجلفانومتر تدريجاً منتظماً متساوي الأقسام (θ ∝ I).

الملفان الزنبركيان (اللوالب الشعرية): وظيفتهما: (1) يعملان كموصلات لدخول وخروج التيار، (2) يولد تمددهما عزم لي مضاد لعزم الازدواج المغناطيسي حتى يتساوى العزمان فيثبت المؤشر عند القراءة، (3) يعيدان الملف والمؤشر لصفر التدريج عند قطع التيار.

• الأميتر ومجزئ التيار (Rs): ملف الجلفانومتر رقيق وسريع التلف بالحرارة إذا مر به تيار كبير (Ig ضئيل بالمللي أو الميكرو أمبير).
• لحمايته وزيادة مداه، نوصل معه مقاومة صغيرة جداً على التوازي تسمى مجزئ التيار (Rs).
• يمر معظم التيار الكلي الكبير في مجزئ التيار بينما يمر الجزء الضئيل المأمون (Ig) في ملف الجلفانومتر: \[\begin{gathered}\,\text{Rs} = \dfrac{\,\text{Ig} \,\text{Rg}}{I - \,\text{Ig}}\end{gathered}\].
• وتقل المقاومة الكلية للأميتر: \[\begin{gathered}R_{\,\text{amm}} = \dfrac{\,\text{Rg} \times \,\text{Rs}}{\,\text{Rg} + \,\text{Rs}}\end{gathered}\] حتى لا يؤثر توصيله على التوالي على شدة تيار الدائرة.

• الفولتميتر ومضاعف الجهد (Rm): لتحويل الجلفانومتر إلى فولتميتر يقيس فروق جهد عالية، نوصل معه مقاومة كبيرة جداً على التوالي تسمى مضاعف الجهد (Rm).
• تجعل المقاومة الكلية للجهاز كبيرة جداً: \[\begin{gathered}R_{\,\text{volt}} = \,\text{Rg} + \,\text{Rm}\end{gathered}\]، فلا يسحب الجهاز تياراً ملموساً عند توصيله على التوازي بين النقطتين المراد قياس فرق الجهد بينهما: \[\begin{gathered}\,\text{Rm} = \dfrac{V - \,\text{Vg}}{\,\text{Ig}}\end{gathered}\].

• فكرة عمل الأوميتر: قانون أوم للدائرة المغلقة بثبوت القوة الدافعة الكهربية للعمود (VB) ومقاومته الداخلية.
• تتناسب شدة التيار تناسباً عكسياً مع المقاومة الكلية للدائرة.

تركيب الأوميتر: جلفانومتر (Rg, Ig) + عمود كهربي ثابت الجهد (VB = 1.5 V غالباً) + مقاومة عيارية ثابتة (Rc) + مقاومة متغيرة (ريوستات Rv) لضبط صفر التدريج قبل القياس + طرفا توصيل يوضع بينهما المقاومة المجهولة (Rx).

• مقاومة الأوميتر الداخلية الكلية \((R_{\,\text{device}})\): \[\begin{gathered}R_{\,\text{device}} = \,\text{Rg} + \,\text{Rc} + \,\text{Rv} + r\end{gathered}\].
• وتحدد بحيث يمر أقصى تيار انحراف (Ig) عندما يتلامس طرفا التوصيل (أي عند Rx = 0): \[\begin{gathered}R_{\,\text{device}} = \dfrac{\,\text{VB}}{\,\text{Ig}}\end{gathered}\].

لماذا تدريج الأوميتر غير منتظم وتدريجه عكسي؟

1. تدريج عكسي: لأن الصفر في تدريج المقاومات (Rx = 0) يقابل أقصى انحراف للتيار \((I = I_{\,\text{max}})\)، ونهاية تدريج المقاومات (Rx = ∞) تقابل انعدام التيار (I = 0).

2. تدريج غير منتظم (تتباعد الأقسام عند الصفر وتتزاحم عند المالانهاية): لأن شدة التيار لا تتناسب عكسياً مع المقاومة المجهولة Rx وحدها، بل تتناسب عكسياً مع مجموع المقاومتين معاً: \((R_{\,\text{device}} + \,\text{Rx})\).

• القاعدة الذهبية لانحراف الأوميتر: إذا انحرف مؤشر الأوميتر إلى \(\left(\dfrac{1}{n}\right)\) من نهاية تدريج التيار، فإن المقاومة المجهولة Rx تساوي: \[\begin{gathered}\,\text{Rx} = (n - 1) \times R_{\,\text{device}}\end{gathered}\].
• فمثلاً: للانحراف لنصف التدريج \(\left(\dfrac{1}{2}\right)\): \[\begin{gathered}\,\text{Rx} = R_{\,\text{device}}\end{gathered}\].
• وللانحراف لربع التدريج \(\left(\dfrac{1}{4}\right)\): \[\begin{gathered}\,\text{Rx} = 3 R_{\,\text{device}}\end{gathered}\].
• وللانحراف لعشر التدريج \(\left(\dfrac{1}{10}\right)\): \[\begin{gathered}\,\text{Rx} = 9 R_{\,\text{device}}\end{gathered}\].

جدول: مقارنة شاملة بين أجهزة القياس التناظرية: الجلفانومتر، الأميتر، الفولتميتر، والأوميتر

• مسألة تحويل الجلفانومتر إلى أميتر وفولتميترالمعطيات والتفاعل والمطلوب: جلفانومتر حساس مقاومة ملفه Rg = 50 Ω ينحرف مؤشره إلى نهاية تدريجه عند مرور تيار شدته Ig = 10 mA. احسب: (1) قيمة مجزئ التيار Rs لتحويله إلى أميتر يقيس تياراً أقصاه 1 A، (2) قيمة مضاعف الجهد Rm لتحويله إلى فولتميتر يقيس فرق جهد أقصاه 100 V.خطوات الحل والبرهان الكيميائي: [1] المعطيات: Rg = 50 Ω، \[\begin{gathered}\,\text{Ig} = 10 \,\text{mA} = 0.010 A. [2]\end{gathered}\] أولاً: حساب مجزئ التيار للأميتر (I = 1 A): [3] نطبق القانون: \[\begin{gathered}\,\text{Rs} = \dfrac{\,\text{Ig} \times \,\text{Rg}}{I - \,\text{Ig}} = \dfrac{0.010 \times 50}{1 - 0.010} = \dfrac{0.50}{0.99} \approx 0.505 \Omega . [4]\end{gathered}\] ثانياً: حساب مضاعف الجهد للفولتميتر (V = 100 V): [5] نحسب أولاً أقصى جهد للجلفانومتر: \[\begin{gathered}\,\text{Vg} = \,\text{Ig} \times \,\text{Rg} = 0.010 \times 50 = 0.5 V. [6]\end{gathered}\] نطبق القانون: \[\begin{gathered}\,\text{Rm} = \dfrac{V - \,\text{Vg}}{\,\text{Ig}} = \dfrac{100 - 0.5}{0.010} = \dfrac{99.5}{0.010} = 9,950 \Omega \end{gathered}\].💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: لاحظ الفرق الهائل بين قيمتي المقاومتين: مجزئ التيار صغير جداً (0.5 Ω) ومضاعف الجهد كبير جداً (9950 Ω)!
• مسألة الأوميتر وانحراف التدريجالمعطيات والتفاعل والمطلوب: أوميتر يحتوي على جلفانومتر ينحرف مؤشره إلى نهاية تدريجه عند مرور تيار 400 μA. وعندما وصل بين طرفيه مقاومة مجهولة قيمتها 7500 Ω انحرف المؤشر إلى ربع تدريج التيار \(\left(\dfrac{1}{4} \,\text{Ig}\right)\). احسب: (1) المقاومة الكلية لجهاز الأوميتر \(R_{\,\text{device}}\)، (2) القوة الدافعة للبطارية VB، (3) قيمة المقاومة التي تجعل المؤشر ينحرف إلى سدس التدريج \(\left(\dfrac{1}{6} \,\text{Ig}\right)\).خطوات الحل والبرهان الكيميائي: [1] أولاً: عند انحراف المؤشر إلى ربع التدريج \(\left(\dfrac{1}{4}\right)\): [2] نطبق القاعدة الذهبية: \[\begin{gathered}\,\text{Rx} = (n - 1) \times R_{\,\text{device}} \Rightarrow\;\color{#15803d}{\mathbf{ 7500 = (4 - 1) \times R_{\,\text{device}} = 3 R_{\,\text{device}}}}\end{gathered}\]. [3] إذاً: المقاومة الكلية للأوميتر \[\begin{gathered}R_{\,\text{device}} = \dfrac{7500}{3} = 2,500 \Omega . [4]\end{gathered}\] ثانياً: حساب القوة الدافعة للبطارية VB: \[\begin{gathered}\,\text{VB} = I_{\,\text{max}} \times R_{\,\text{device}} = (400 \times 10^{-6} A) \times 2500 \Omega = 1.0 V. [5]\end{gathered}\] ثالثاً: حساب المقاومة المجهولة لانحراف المؤشر إلى سدس التدريج \(\left(\dfrac{1}{6}\right)\): \[\begin{gathered}n = 6. [6] \,\text{Rx}_{\,\text{new}} = (n - 1) \times R_{\,\text{device}} = (6 - 1) \times 2500 = 5 \times 2500 = 12,500 \Omega \end{gathered}\].💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: القاعدة الذهبية للأوميتر تحل أي مسألة في 5 ثوانٍ: Rx = (مقلوب كسر الانحراف - 1) × مقاومة الجهاز!

• عزم الازدواج يكون قيمة عظمى عندما يكون مستوى الملف موازياً لخطوط المجال المغناطيسي، وينعدم عندما يكون عمودياً.
• عزم ثنائي القطب المغناطيسي كمية متجهة دائماً عمودية على الملف وتساوي md = I A N ولا تتغير بدوران الملف.
• القطبان المقعران في الجلفانومتر يجعلان خطوط الفيض على هيئة أنصاف أقطار فيكون عزم الازدواج ثابتاً وتدريجه منتظماً.
• تدريج الأوميتر غير منتظم لأن شدة التيار تتناسب عكسياً مع \((R_{\,\text{device}} + \,\text{Rx})\) وليس مع Rx وحدها.
• مجزئ التيار يوصل على التوازي ويقلل المقاومة الكلية ويزيد مدى قياس التيار، ومضاعف الجهد يوصل على التوالي ويزيد المقاومة الكلية ومدى الجهد.