أهداف الدرس
• أن يجري الطالب العمليات على الأعداد المركبة.
• أن يحول العدد المركب إلى الصورة المثلثية.
• أن يطبق نظرية ديموافر ويوجد الجذور التكعيبية للواحد.
الصورة الجبرية
العدد المركب ع = أ + ب ت، حيث أ الجزء الحقيقي وب الجزء التخيلي، و ت² = −1.
العدد المرافق هو أ − ب ت، وحاصل ضربه في العدد = أ² + ب².
العمليات
• الجمع والطرح: نجمع الأجزاء الحقيقية والتخيلية.
• الضرب: نضرب كحدين جبريين مع مراعاة أن ت² = −1.
• القسمة: نضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
المقياس والسعة
المقياس |ع| = جذر (أ² + ب²)
السعة θ حيث ظا θ = ب ÷ أ، مع تحديد الربع المناسب.
الصورة المثلثية
ع = |ع| (جتا θ + ت جا θ)، وتكتب اختصاراً |ع| cis θ.
نظرية ديموافر
(جتا θ + ت جا θ)n = جتا (n θ) + ت جا (n θ)
وتستخدم في رفع الأعداد المركبة لقوى كبيرة.
الضرب والقسمة في الصورة المثلثية
• عند الضرب: نضرب المقاييس ونجمع السعات.
• عند القسمة: نقسم المقاييس ونطرح السعات.
الجذور التكعيبية للواحد الصحيح
حلول المعادلة ع³ = 1 هي:
1، و (−1 ÷ 2 + (جذر 3 ÷ 2) ت)، و (−1 ÷ 2 − (جذر 3 ÷ 2) ت)
ويطلق على الجذرين غير الحقيقيين ω و ω²، ومن خصائصهما:
• 1 + ω + ω² = 0
• ω³ = 1
مثال محلول
أوجد (1 + ت)^8.
المقياس = جذر 2، والسعة = 45 درجة.
(1 + ت)^8 = (جذر 2)8 × cis (8 × 45) = 16 × cis 360 = 16.
تقييم سريع
1- اكتب العدد 1 − ت في الصورة المثلثية.
2- استخدم ديموافر لإيجاد (جذر 3 + ت)^6.
3- أثبت أن 1 + ω + ω² = 0.