المتجهات في الفراغ والضرب القياسي والاتجاهي

أهداف الدرس
• أن يمثل الطالب المتجهات في الفراغ.
• أن يحسب الضرب القياسي والاتجاهي.
• أن يحسب المساحات والأحجام باستخدام المتجهات.

المتجه في الفراغ
المتجه له مقدار واتجاه، ويكتب بدلالة متجهات الوحدة الأساسية:
م = أ س + ب ص + ج ع
والمقدار |م| = جذر (أ² + ب² + ج²)

العمليات على المتجهات
• الجمع والطرح: نجمع أو نطرح المركبات المتناظرة.
• الضرب في عدد قياسي: نضرب كل مركبة في العدد.

الضرب القياسي
م • ن = |م| × |ن| × جتا θ
وبدلالة المركبات: م • ن = أ1 أ2 + ب1 ب2 + ج1 ج2
ومنه نحسب الزاوية بين متجهين:
جتا θ = (م • ن) ÷ (|م| × |ن|)
وإذا كان م • ن = 0 فالمتجهان متعامدان.

الضرب الاتجاهي
م × ن = |م| × |ن| × جا θ × متجه وحدة عمودي على المستوى
وبدلالة المحدد:
م × ن = (ب1 ج2 − ج1 ب2) س − (أ1 ج2 − ج1 أ2) ص + (أ1 ب2 − ب1 أ2) ع
وإذا كان م × ن = متجه صفر فالمتجهان متوازيان.

تطبيقات هندسية
• مساحة متوازي الأضلاع = |م × ن|
• مساحة المثلث = نصف |م × ن|
• حجم متوازي المستطيلات = |م • (ن × ل)|
• حجم الهرم = سدس |م • (ن × ل)|

• مثال محلول
  م = (1، 2، 2) و ن = (3، 0، 4).
• احسب الزاوية بينهما.
  م • ن = 3 + 0 + 8 = 11
  |م| = 3، |ن| = 5
  جتا θ = 11 ÷ 15 = 0.733، إذن θ ≈ 42.8 درجة.

تقييم سريع
1- أوجد متجه وحدة في اتجاه المتجه (2، −1، 2).
2- أثبت أن المتجهين (1، 2، 3) و (2، −4، 2) متعامدان.
3- احسب مساحة المثلث الذي رأساه المتجهان (1، 0، 0) و (0، 3، 0).