معادلة المستقيم والمستوى في الفراغ

أهداف الدرس
• أن يكتب الطالب معادلة مستقيم في الفراغ.
• أن يكتب معادلة مستوى ويحدد متجهه العمودي.
• أن يحسب الزاوية والمسافة بين عنصرين هندسيين.

معادلة المستقيم
• الصورة المتجهة: ر = ر0 + ك × د، حيث ر0 موضع نقطة على المستقيم، ود متجه اتجاه، و ك عدد حقيقي.
• الصورة الديكارتية: (س − س0) ÷ ل = (ص − ص0) ÷ م = (ع − ع0) ÷ ن
حيث (ل، م، ن) متجه الاتجاه.
• معادلة المستقيم المار بنقطتين: متجه الاتجاه = الفرق بين متجهي موضع النقطتين.

معادلة المستوى
• الصورة المتجهة: (ر − ر0) • ن = 0، حيث ن المتجه العمودي على المستوى.
• الصورة الديكارتية: أ س + ب ص + ج ع = د، حيث (أ، ب، ج) المتجه العمودي.

الزوايا
• الزاوية بين مستقيمين: من متجهي الاتجاه.
• الزاوية بين مستويين: من المتجهين العموديين.
• الزاوية بين مستقيم ومستوى: جيب الزاوية = |د • ن| ÷ (|د| × |ن|)

المسافة من نقطة إلى مستوى
المسافة = |أ س0 + ب ص0 + ج ع0 − د| ÷ جذر (أ² + ب² + ج²)

المسافة بين مستقيمين متخالفين
تساوي المسافة بينهما على طول العمودي المشترك، وتحسب باستخدام الضرب المختلط:
المسافة = |(ر2 − ر1) • (د1 × د2)| ÷ |د1 × د2|

مثال محلول
أوجد المسافة من النقطة (1، 2، 3) إلى المستوى 2س + 3ص − 6ع = 5.
المسافة = |2 + 6 − 18 − 5| ÷ جذر (4 + 9 + 36) = 15 ÷ 7 ≈ 2.14

تقييم سريع
1- اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة (2، −1، 3) واتجاهه (1، 2، −2).
2- أوجد الزاوية بين المستويين س + ص + ع = 1 و 2س − ص + 2ع = 3.
3- احسب المسافة من نقطة الأصل إلى المستوى 3س − 4ص + 12ع = 26.