أهداف الدرس
• أن يشتق الطالب الدوال ضمنياً وبارامترياً.
• أن يحسب المشتقات العليا.
• أن يحل مسائل المعدلات الزمنية المرتبطة.
الاشتقاق الضمني
عندما تكون ص معطاة في صورة معادلة تحتوي س وص معاً، نشتق الطرفين بالنسبة لـ س مع اعتبار ص دالة في س، ثم نفصل صَ.
مثال: س² + ص² = 25
بالاشتقاق: 2س + 2ص صَ = 0، إذن صَ = − س ÷ ص
الاشتقاق البارامتري
إذا كانت س = د(ن) و ص = هـ(ن)، فإن:
صَ = (دص ÷ د ن) ÷ (دس ÷ د ن)
والمشتقة الثانية:
صً = (د ÷ دس) (صَ) = (د صَ ÷ د ن) ÷ (دس ÷ د ن)
المشتقات العليا
المشتقة الثانية هي مشتقة المشتقة الأولى، وتستخدم في تحديد نوع النقاط الحرجة وفي دراسة التقعر.
مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية
• مشتقة هـ^س هي هـ^س.
• مشتقة هـ^(أ س) هي أ × هـ^(أ س).
• مشتقة لو س (الأساس هـ) هي 1 ÷ س.
• مشتقة لو(د(س)) = دَ(س) ÷ د(س).
- المعدلات الزمنية المرتبطة
عندما يتغير متغيران مرتبطان بالزمن، نشتق العلاقة بالنسبة للزمن:
دص ÷ دن = (دص ÷ دس) × (دس ÷ دن)
مثال: كرة يتزايد نصف قطرها بمعدل 2 سم لكل ثانية. - معدل تغير الحجم:
ح = (4 ÷ 3) π نق³
دح ÷ دن = 4 π نق² × (د نق ÷ دن)
وعند نق = 5: دح ÷ دن = 4 π × 25 × 2 = 200 π سم³ لكل ثانية.
خطوات حل مسائل المعدلات المرتبطة
1- كتابة العلاقة بين المتغيرين.
2- الاشتقاق بالنسبة للزمن.
3- التعويض بالقيم المعلومة.
4- الانتباه إلى الوحدات وإشارة المعدل.
- تقييم سريع
1- أوجد صَ إذا كانت س³ + ص³ = 6 س ص.
2- إذا كانت س = ن² + 1 و ص = ن³، أوجد صً.
3- يتزايد ضلع مكعب بمعدل 0.5 سم لكل ثانية. - أوجد معدل تغير حجمه عندما يكون الضلع 4 سم.