أهداف الدرس
• أن يحدد الطالب فترات التزايد والتناقص.
• أن يجد القيم العظمى والصغرى باستخدام المشتقة.
• أن يرسم منحنى الدالة بعد دراسة سلوكها.
التزايد والتناقص
• الدالة متزايدة على فترة إذا كانت صَ أكبر من صفر.
• الدالة متناقصة على فترة إذا كانت صَ أصغر من صفر.
• النقاط التي عندها صَ = 0 أو غير موجودة تسمى النقاط الحرجة.
اختبار المشتقة الأولى
• إذا تغيرت إشارة صَ من موجب إلى سالب عند نقطة، فهي قيمة عظمى محلية.
• إذا تغيرت من سالب إلى موجب، فهي قيمة صغرى محلية.
• إذا لم تتغير الإشارة، فالنقطة ليست قيمة متطرفة.
اختبار المشتقة الثانية
• إذا كانت صً أصغر من صفر عند نقطة حرجة، فهي قيمة عظمى.
• إذا كانت صً أكبر من صفر، فهي قيمة صغرى.
• إذا كانت صً = صفر، فالاختبار غير حاسم ونعود للمشتقة الأولى.
نقاط الانقلاب
هي النقاط التي يتغير عندها اتجاه التقعر، وتوجد حيث صً = 0 أو غير موجودة مع تغير إشارة صً.
• إذا كانت صً أكبر من صفر فالمنحنى مقعر لأعلى.
• إذا كانت صً أصغر من صفر فالمنحنى مقعر لأسفل.
خطوات رسم المنحنى
1- تحديد مجال الدالة.
2- إيجاد التقاطعات مع المحورين.
3- إيجاد صَ وتحديد فترات التزايد والتناقص.
4- إيجاد القيم العظمى والصغرى.
5- إيجاد صً ونقاط الانقلاب واتجاه التقعر.
6- دراسة السلوك عند الأطراف إن وجدت.
تطبيقات على القيم العظمى والصغرى
• إيجاد أكبر مساحة أو حجم ممكن.
• إيجاد أقل تكلفة أو أقل استهلاك.
• مسائل الحركة: القيمة العظمى للسرعة أو المسافة.
مثال محلول
أوجد القيم المتطرفة للدالة ص = س³ − 3س.
صَ = 3س² − 3 = 0، إذن س = 1 أو س = −1.
صً = 6س، وعند س = 1 تكون صً = 6 أكبر من صفر، أي قيمة صغرى = −2.
وعند س = −1 تكون صً = −6 أصغر من صفر، أي قيمة عظمى = 2.
تقييم سريع
1- أوجد فترات التزايد والتناقص للدالة ص = س² − 4س + 1.
2- أوجد أكبر مساحة مستطيل محيطه 20 سم.
3- حدد نقاط انقلاب المنحنى ص = س³ − 6س².