أهداف الدرس
• أن يكامل الطالب الدوال الأسية واللوغاريتمية.
• أن يستخدم طرق التكامل المختلفة.
• أن يحسب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية.
التكامل غير المحدد
التكامل عملية عكسية للاشتقاق، ويضاف إليه ثابت التكامل.
• تكامل س^n = س^(n+1) ÷ (n+1) + ث
• تكامل 1 ÷ س = لو |س| + ث
• تكامل هـ^س = هـ^س + ث
• تكامل هـ^(أ س) = هـ^(أ س) ÷ أ + ث
طرق التكامل
• التعويض: نضع متغيراً جديداً لتبسيط التكامل.
• التجزيء: تكامل (د × هـَ) = د × هـ − تكامل (دَ × هـ)
• الكسور الجزئية: تفكيك الكسر إلى كسور أبسط عند وجود مقام قابل للتحليل.
التكامل المحدد
تكامل من أ إلى ب = قيمة الدالة الأصلية عند ب ناقص قيمتها عند أ.
ويستخدم في حساب المساحات والحجوم.
المساحة تحت المنحنى
المساحة = تكامل من أ إلى ب لـ ص دس
وإذا كان المنحنى أسفل المحور السيني تكون المساحة سالبة، فنأخذ القيمة المطلقة.
المساحة بين منحنيين
المساحة = تكامل من أ إلى ب لـ (المنحنى الأعلى − المنحنى الأدنى) دس
حجم الجسم الدوراني
عند إدارة المنطقة حول المحور السيني:
الحجم = π × تكامل من أ إلى ب لـ ص² دس
وعند الإدارة حول المحور الصادي:
الحجم = π × تكامل من ج إلى د لـ س² دص
مثال محلول
احسب المساحة تحت المنحنى ص = س² من س = 0 إلى س = 3.
المساحة = تكامل س² دس = س³ ÷ 3، وبالتعويض = 27 ÷ 3 − 0 = 9 وحدات مربعة.
تقييم سريع
1- أوجد تكامل (2س + 1)5 دس.
2- احسب تكامل من 1 إلى 2 لـ (1 ÷ س) دس.
3- احسب حجم الجسم الناتج من إدارة ص = س حول المحور السيني من س = 0 إلى س = 2.