المناهج الدراسية
تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الرياضيات البحتة — الصف الثالث الثانوي

الوحدة الأولى: نظرية ذات الحدين

0/8

الوحدة الثانية: الأعداد المركبة

0/9

الوحدة الثالثة: الهندسة والقياس في بعدين وثلاثة أبعاد

0/8

الوحدة الرابعة: الخطوط المستقيمة والمستويات في الفراغ

0/9

الوحدة الخامسة: الاشتقاق وتطبيقاته

0/8

الوحدة السادسة: سلوك الدالة ورسم المنحنيات

0/8

الوحدة السابعة: التكامل وتطبيقاته

0/9
نص الدرس

معادلة المستقيم والمستوى في الفراغ

الرياضيات البحتة — الصف الثالث الثانوي

معادلة المستقيم والمستوى في الفراغ

معادلة المستقيم في الفراغ

معادلة المستقيم في الفراغ

  • المستقيم في الفراغ يتحدد بنقطة يمر بها، واتجاه يوازيه.
  • فإذا كانت A(س1، ص1، ع1) نقطة على المستقيم، وكان المتجه d = (ل، م، ن) موازياً له، فإن أي نقطة P(س، ص، ع) على المستقيم تحقق أن المتجه AP يوازي d.

الصورة المتجهة

r = a + t d

  • حيث r = (س، ص، ع) متجه موضع أي نقطة على المستقيم، وa متجه موضع النقطة A، وt عدد حقيقي يسمى الوسيط.
  • ولكل قيمة للوسيط نقطة مختلفة على المستقيم.

الصورة الوسيطية

  1. بتحليل المتجه السابق إلى مركباته نحصل على:
  2. س = س1 + ل t، ص = ص1 + م t، ع = ع1 + ن t

الصورة المتماثلة

  1. بحذف الوسيط t من الصورة الوسيطية
  2. إذا كانت ل و م و ن جميعها لا تساوي صفراً نحصل على:

(س − س1) ÷ ل = (ص − ص1) ÷ م = (ع − ع1) ÷ ن

  • والأعداد ل و م و ن تسمى أعداد الاتجاه للمستقيم.
  • وإذا كان أحد أعداد الاتجاه صفراً، مثل ن = 0، فإن الصورة المتماثلة تكتب مع بقاء ع = ع1.
معادلة المستقيم والمستوى في الفراغ · 1 / 9
معادلة المستقيم المار بنقطتين

معادلة المستقيم المار بنقطتين

  • إذا كان المستقيم يمر بالنقطتين A(س1، ص1، ع1) و B(س2، ص2، ع2)، فإن متجه الاتجاه يكون AB = (س2 − س1، ص2 − ص1، ع2 − ع1)، ونستخدم إحدى النقطتين مع هذا الاتجاه في الصورة المتماثلة.
  • وتكون النتيجة واحدة سواء اخترنا A أو B.
  • ولاختبار هل نقطة P تقع على المستقيم نعوض بإحداثياتها في الصورة المتماثلة، فإذا تساوت النسب الثلاث فإن النقطة على المستقيم.
معادلة المستقيم والمستوى في الفراغ · 2 / 9
الزاوية بين مستقيمين والتوازي والتعامد

الزاوية بين مستقيمين والتوازي والتعامد

  • إذا كان d1 و d2 متجها الاتجاه لمستقيمين في الفراغ، فإن الزاوية θ بينهما تُحسب من العلاقة:

جتا θ = |d1 · d2| ÷ (|d1| |d2|)

  • ونأخذ القيمة المطلقة للبسط لأن الزاوية بين مستقيمين تكون حادة أو قائمة. ومن ذلك:
  1. المستقيمان متوازيان إذا كان d1 = ك d2.
  2. المستقيمان متعامدان إذا كان d1 · d2 = 0.
معادلة المستقيم والمستوى في الفراغ · 3 / 9
معادلة المستوى في الفراغ

معادلة المستوى في الفراغ

الصورة المتجهة

  • المستوى يتحدد بنقطة A يمر بها، ومتجه عمودي عليه يسمى المتجه العمودي n.
  • فإذا كانت r متجه موضع أي نقطة P في المستوى، فإن المتجه AP يكون عمودياً على n، أي أن:
لوح كرتون يقطع ركن غرفة يمثل معادلة المستقيم والمستوى في الفراغ: 2س + 3ص + 6ع = 12 ويبعد عن الأصل 12/7.
لوح كرتون يقطع ركن غرفة يمثل معادلة المستقيم والمستوى في الفراغ: 2س + 3ص + 6ع = 12 ويبعد عن الأصل 12/7.
  • n · (r − a) = 0

الصورة الديكارتية

  • إذا كانت n = (أ، ب، ج) والنقطة A(س1، ص1، ع1) نحصل على معادلة المستوى:

أ(س − س1) + ب(ص − ص1) + ج(ع − ع1) = 0

وبفك الأقواس نصل إلى الصورة العامة←أس + ب ص + ج ع + د = 0، حيث د = − (أ س1 + ب ص1 + ج ع1). ومعاملات س وص وع هي مركبات المتجه العمودي على المستوى.

المستوى المار بثلاث نقط

  1. لإيجاد معادلة المستوى المار بثلاث نقط غير واقعة على استقامة واحدة
  2. نوجد متجهين يقعان في المستوى
  3. نأخذ الضرب الاتجاهي لهما ليكون المتجه العمودي على المستوى
  4. نطبق الصورة الديكارتية.
معادلة المستقيم والمستوى في الفراغ · 4 / 9
المسافة من نقطة إلى مستوى والزاوية بين مستويين

المسافة من نقطة إلى مستوى والزاوية بين مستويين

المسافة من نقطة إلى مستوى

  • إذا كانت النقطة P(س0، ص0، ع0) والمستوى أس + ب ص + ج ع + د = 0، فإن المسافة بينهما هي:
  • ف = |أ س0 + ب ص0 + ج ع0 + د| ÷ √(أ2 + ب2 + ج2)

الزاوية بين مستويين

  • الزاوية بين مستويين هي الزاوية بين متجهيهما العموديين n1 و n2، وتُحسب من العلاقة جتا θ = |n1 · n2| ÷ (|n1| |n2|).
  • والمستويان متوازيان إذا كان n1 = ك n2، ومتعامدان إذا كان n1 · n2 = 0.
معادلة المستقيم والمستوى في الفراغ · 5 / 9
وضع المستقيم بالنسبة للمستوى

وضع المستقيم بالنسبة للمستوى

  • لمعرفة وضع مستقيم بالنسبة لمستوى نعتمد على الاتجاه d للمستقيم والمتجه العمودي n للمستوى:
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
المستقيم عمودي على المستوى
  • إذا كان d يوازي n
  • أي d = ك n
يوازي
المستقيم يوازي المستوى
  • إذا كان d · n = 0
  • ويكون المستقيم موازياً أو واقعاً في المستوى
  • ويتحدد ذلك بتعويض نقطة من المستقيم في معادلة المستوى
ويكونموازياواقعاويتحدد
المستقيم يقطع المستوى
  • إذا لم يكن d · n = 0
  • فإن المستقيم يقطع المستوى في نقطة واحدة
نقطةواحدة
•والزاوية φ بين المستقيم والمستوى (وهي الزاوية الحادة بينه وبين مسقطه على المستوى) تُحسب من العلاقةوالزاويةالمستقيموالمستوىالزاوية

جا φ = |d · n| ÷ (|d| |n|)

  1. ويلاحظ أن هذه الزاوية تختلف عن الزاوية بين المستقيم والعمودي على المستوى
  2. فالعلاقة الأولى تستخدم الجيب.
معادلة المستقيم والمستوى في الفراغ · 6 / 9
أمثلة محلولة

أمثلة محلولة

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
المثال الأول: الصورة الوسيطية.
  • أوجد المعادلات الوسيطية والمتماثلة للمستقيم الذي يمر بالنقطة A(1
  • 3) ويوازي المتجه d = (2
أوجدالمعادلاتوالمتماثلةللمستقيم
الحل
  • الصورة الوسيطية: س = 1 + 2t
  • ص = −2 − t
  • ع = 3 + 4t. والصورة المتماثلة: (س − 1) ÷ 2 = (ص + 2) ÷ (−1) = (ع − 3) ÷ 4
الصورةالوسيطيةوالصورةالمتماثلة
التحقق
  • بوضع t = 1 نحصل على النقطة (3
  • وبالتعويض في الصورة المتماثلة: (3 − 1) ÷ 2 = 1
  • و(−3 + 2) ÷ (−1) = 1
  • و(7 − 3) ÷ 4 = 1
بوضعنحصلالنقطةوبالتعويض
المثال الثاني: المستقيم المار بنقطتين.
  • أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين A(1
  • 3) و B(4
أوجدمعادلةبالنقطتين
الحل
  • AB = (3
  • 2). فتكون الصورة المتماثلة: (س − 1) ÷ 3 = (ص − 2) ÷ (−3) = (ع − 3) ÷ 2
فتكونالصورةالمتماثلة
المثال الثالث: الزاوية بين مستقيمين.أوجد الزاوية بين المستقيمين اللذين اتجاهاهما d1 = (1، 2، 2) و d2 = (2، −1، 2) لأقرب درجة.أوجدالمستقيميناللذيناتجاهاهما
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
الحلd1 · d2 = 2 − 2 + 4 = 4. و|d1| = 3، و|d2| = 3. إذن جتا θ = 4 ÷ 9، ومنها θ ≈ 63.6°، أي نحو 64°.ومنها
المثال الرابع: معادلة المستوى.
  • أوجد معادلة المستوى المار بالنقطة A(1
  • 2) والمتجه العمودي n = (2
أوجدالماربالنقطةوالمتجه
الحل
  • 2(س − 1) − (ص − 0) + 3(ع − 2) = 0
  • أي 2س − ص + 3ع − 8 = 0
التحققبالتعويض بالنقطة A نجد 2 − 0 + 6 − 8 = 0بالتعويضبالنقطة
المثال الخامس: المستوى المار بثلاث نقط.
  • أوجد معادلة المستوى المار بالنقط P(1
  • 0) و Q(0
  • 0) و R(0
أوجدمعادلةبالنقط
الحل
  • بما أن المستوى يقطع المحاور عند 1 و 2 و 3
  • فإن معادلته بصورة القطاعات: س ÷ 1 + ص ÷ 2 + ع ÷ 3 = 1. وبضرب الطرفين في 6 نحصل على 6س + 3ص + 2ع = 6
المستوىيقطعالمحاورمعادلته
التحققالنقط الثلاث تحقق المعادلة لأن 6 = 6 في كل حالةالنقطالثلاثالمعادلةحالة
  • المثال السادس: المسافة من نقطة إلى مستوى. أوجد المسافة بين النقطة (1، 1، 1) والمستوى س + 2ص + 2ع − 9 = 0.
  • الحل ف = |1 + 2 + 2 − 9| ÷ √(1 + 4 + 4) = |−4| ÷ 3 = 4 ÷ 3 وحدة طول.
  • المثال السابع: تقاطع مستقيم مع مستوى والزاوية بينهما. أوجد نقطة تقاطع المستقيم r = (1، 0، 2) + t(1، 2، −1) مع المستوى 2س + ص + ع = 5، ثم أوجد الزاوية بين المستقيم والمستوى.
  • الحل بالتعويض في معادلة المستوى: 2(1 + t) + 2t + (2 − t) = 5، أي 4 + 3t = 5، ومنها t = 1 ÷ 3. فتكون نقطة التقاطع (4 ÷ 3، 2 ÷ 3، 5 ÷ 3).
  • المتجه d = (1، 2، −1) والمتجه العمودي n = (2، 1، 1).
  • فيكون d · n = 2 + 2 − 1 = 3، و|d| = |n| = √6.
  • إذن جا φ = 3 ÷ 6 = ½، ومنها φ = 30°.
معادلة المستقيم والمستوى في الفراغ · 7 / 9
أخطاء شائعة

أخطاء شائعة

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
الخلط بين الجيب والجتا في الزاوية بين مستقيم ومستوى
  • الزاوية بين المستقيم والمستوى تستخدم الجيب مع d · n
  • أما الزاوية بين مستقيمين فتستخدم جتا
المستقيموالمستوىتستخدممستقيمين
نسيان إشارة الثابت في معادلة المستوى
  • عند فك الصورة الديكارتية يجب تحويل كل الحدود بدقة
  • وخاصة الحد الثابت
الصورةالديكارتيةتحويلالحدود
استخدام أعداد الاتجاه بدلاً من المتجه العمودي على المستوى
  • معاملات س وص وع في المستوى هي مركبات المتجه العمودي
  • وليست مركبات اتجاه المستقيم
معاملاتمركباتوليستالمستقيم
نسيان القيمة المطلقة في المسافة
  • المسافة دائماً موجبة
  • لذلك نضع البسط بين قوسين رأسيين
دائماموجبةلذلكالبسط
اعتبار أن المستقيم يقطع المستوى دائماًإذا كان d · n = 0 فقد يكون المستقيم موازياً للمستوى ولا يقطعهيكونموازياللمستوىيقطعه
معادلة المستقيم والمستوى في الفراغ · 8 / 9
ملخص الدرس

ملخص الدرس

  • معادلة المستقيم r = a + t d، أو الصورة الوسيطية، أو الصورة المتماثلة (س − س1) ÷ ل = (ص − ص1) ÷ م = (ع − ع1) ÷ ن.
  • الزاوية بين مستقيمين جتا θ = |d1 · d2| ÷ (|d1| |d2|).
  • معادلة المستوى أس + ب ص + ج ع + د = 0، ومتجهه العمودي n = (أ، ب، ج).
  • المسافة من نقطة إلى مستوى |أ س0 + ب ص0 + ج ع0 + د| ÷ √(أ2 + ب2 + ج2).
  • الزاوية بين مستقيم ومستوى جا φ = |d · n| ÷ (|d| |n|).
  • يتقاطع مستويان غير متوازيين في خط مستقيم يُسمى خط التقاطع.
  • لإيجاد نقطة على خط تقاطع مستويين، نفرض إحدى الإحداثيات مساوية للصفر ثم نحل معادلتي المستويين معاً.
  • لإيجاد نقطة تقاطع مستقيم مع مستوى، نعوض بمركبات الصورة الوسيطية للمستقيم في معادلة المستوى ونحل المعادلة الناتجة لإيجاد الوسيط.
  • إذا تقاطع مستقيمان، فإنهما يقعان في مستوى واحد يمكن إيجاد معادلته من نقطة على أحدهما ومن متجهي اتجاهيهما.
  • إذا قطع المستوى محاور الإحداثيات عند أجزاء معلومة، فيمكن كتابة معادلته بصورة الأجزاء المقطوعة، حيث تُقسم كل إحداثية على الجزء المقطوع منها ومجموعها يساوي واحداً.
  • المسافة بين مستويين متوازيين تُحسب بأخذ نقطة على أحدهما وإيجاد طول العمود المرسوم منها إلى الآخر.
معادلة المستقيم والمستوى في الفراغ · 9 / 9