أهداف الدرس
• أن يفك الطالب (أ + ب) أس n باستخدام نظرية ذات الحدين.
• أن يحدد الحد العام والحد المشتمل على قوة معينة.
• أن يحسب النسبة بين حدين متتاليين.
- نص النظرية
لأي عدد صحيح موجب n:
(أ + ب)^n = مجموع من r = 0 إلى n من (n ق r) × أ^(n−r) × ب^r
حيث (n ق r) هو معامل ذات الحدين ويساوي n! - ÷ (r!
- × (n−r)!)
خصائص المفكوك
• عدد الحدود = n + 1.
• أس أ يبدأ من n وينقص واحداً في كل حد، وأس ب يبدأ من صفر ويزيد واحداً.
• مجموع أسس أ و ب في أي حد يساوي n.
• المعاملات متماثلة، أي أن (n ق r) = (n ق (n−r)).
مثلث باسكال
يمكن الحصول على المعاملات من مثلث باسكال، حيث كل عدد يساوي مجموع العددين أعلى منه.
الحد العام
الحد العام (الحد رقم r+1) في مفكوك (أ + ب)^n هو:
T(r+1) = (n ق r) × أ^(n−r) × ب^r
الحد المشتمل على قوة معينة
لإيجاد الحد المشتمل على س^ك، نكتب أس س في الحد العام ونساويه بـ ك، ثم نحل لإيجاد r، ثم نعوض لإيجاد المعامل.
مثال محلول
أوجد الحد المشتمل على س^6 في مفكوك (س + 2)8.
الحد العام: (8 ق r) × س^(8−r) × 2r
نساوي الأس: 8 − r = 6، إذن r = 2
المعامل = (8 ق 2) × 22 = 28 × 4 = 112
إذن الحد هو 112 س^6.
النسبة بين حدين متتاليين
T(r+2) ÷ T(r+1) = ((n − r) ÷ (r + 1)) × (ب ÷ أ)
وتستخدم لإيجاد الحد الأكبر أو لتحديد ترتيب حد معين.
تقييم سريع
1- أوجد الحد الخامس في مفكوك (2س − 1)7.
2- أوجد الحد الخالي من س في مفكوك (س + 3 ÷ س)^6.
3- أثبت أن مجموع المعاملات في مفكوك (1 + س)^n يساوي 2n.