النقطة 6 من 8 — الدرس 2 – المجموعات والعمليات الجبرية ومجموعات الأعداد – شرحبنك الأسئلة: 6 سؤال (1 مصوّر)
07 أمثلة محلولة
مسألة إحصائية حياتية وحلها بأشكال فن وقانون الاتحادالمعطيات والتفاعل والمطلوب: في فصل دراسي مكون من 40 طالباً، وجد أن 25 طالباً يحبون مادة الرياضيات، و 20 طالباً يحبون مادة العلوم، و 12 طالباً يحبون المادتين معاً. احسب: (1) عدد الطلاب الذين يحبون الرياضيات فقط، (2) عدد الطلاب الذين يحبون مادة واحدة على الأقل، (3) عدد الطلاب الذين لا يحبون أي من المادتين.خطوات الحل والبرهان الكيميائي: [1] نفرض أن مجموعة محبي الرياضيات هي M، ومجموعة محبي العلوم هي S، والمجموعة الشاملة للفصل هي U. [2] المعطيات: n(U) = 40، n(M) = 25، n(S) = 20، والتقاطع المشترك n(M ∩ \[\begin{gathered}S) = 12. [3]\end{gathered}\] أولاً: عدد الطلاب الذين يحبون الرياضيات فقط: \[\begin{gathered}n(M - S) = n(M) - n(M\end{gathered}\] ∩ \[\begin{gathered}S) = 25 - 12 = 13\end{gathered}\] طالباً. [4] ثانياً: عدد الطلاب الذين يحبون مادة واحدة على الأقل (أي الاتحاد M ∪ S): [5] نطبق قانون الاتحاد: n(M ∪ \[\begin{gathered}S) = n(M) + n(S) - n(M\end{gathered}\] ∩ \[\begin{gathered}S) = 25 + 20 - 12 = 45 - 12 = 33\end{gathered}\] طالباً. [6] ثالثاً: عدد الطلاب الذين يحبون العلوم فقط: \[\begin{gathered}n(S - M) = 20 - 12 = 8\end{gathered}\] طلاب. [7] رابعاً: عدد الطلاب الذين لا يحبون أي من المادتين (مكملة الاتحاد (M ∪ S)'): [8] n((M ∪ \[\begin{gathered}S)') = n(U) - n(M\end{gathered}\] ∪ \[\begin{gathered}S) = 40 - 33 = 7\end{gathered}\] طلاب. [9] التحقق من صحة الحل: 13 (رياضيات فقط) + 8 (علوم فقط) + 12 (كلاهما) + 7 (لا أحد) = 40 طالباً (مطابق لإجمالي الفصل تماماً).💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: تذكر دائماً: 'مادة واحدة على الأقل' تعني الاتحاد (∪)، و 'مادتين معاً' تعني التقاطع (∩)!
تطبيق قوانين دي مورجان على مجموعات عدديةالمعطيات والتفاعل والمطلوب: إذا كانت المجموعة الشاملة \[\begin{gathered}U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}\end{gathered}\]، والمجموعة \[\begin{gathered}A = {2, 3, 5, 7}\end{gathered}\]، والمجموعة \[\begin{gathered}B = {1, 3, 5, 7}\end{gathered}\]. أوجد: (A ∪ B)' و (A ∩ B) وتحقق من صحة قانون دي مورجان الأول: (A ∪ B)' = A' ∩ B'.خطوات الحل والبرهان الكيميائي: [1] أولاً: نوجد الاتحاد A ∪ B: A ∪ \[\begin{gathered}B = {1, 2, 3, 5, 7}. [2]\end{gathered}\] مكملة الاتحاد (A ∪ B)': العناصر الموجودة في U وليست في الاتحاد: (A ∪ \[\begin{gathered}B)' = {4, 6, 8}. [3]\end{gathered}\] ثانياً: نوجد مكملة A منفردة: \[\begin{gathered}A' = U - A = {1, 4, 6, 8}. [4]\end{gathered}\] ونوجد مكملة B منفردة: \[\begin{gathered}B' = U - B = {2, 4, 6, 8}. [5]\end{gathered}\] ثالثاً: نوجد تقاطع المكملتين A' ∩ B': العناصر المشتركة بين A' و B' هي: A' ∩ \[\begin{gathered}B' = {4, 6, 8}. [6]\end{gathered}\] الاستنتاج والتحقق: نلاحظ أن (A ∪ \[\begin{gathered}B)' = {4, 6, 8}\end{gathered}\]، و A' ∩ \[\begin{gathered}B' = {4, 6, 8}\end{gathered}\]، وهما متطابقان تماماً، مما يثبت صحة قانون دي مورجان.💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: قانون دي مورجان قاعدة أساسية في امتحانات الرياضيات والمنطق وعلوم الحاسوب!
