حساب المثلثات وقوانين الجيب وجيب التمام والتطبيقات

02 القوانين والعلاقات

• قاعدة الجيب العامة: [ الصيغة الكيميائية والرياضية: \[\begin{gathered}\dfrac{a}{\sin } A = \dfrac{b}{\sin } B = \dfrac{c}{\sin } C = 2 R ]\end{gathered}\] حيث R نصف قطر الدائرة الخارجة للمثلث.
• قاعدة جيب التمام لحساب الأضلاع والزوايا: [ الصيغة الكيميائية والرياضية: \[\begin{gathered}a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2\,\text{bc} \cos A | \cos A = \dfrac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2\,\text{bc}} ]\end{gathered}\] تستخدم إذا علم ضلعان والزاوية المحصورة بينهما (SAS) أو أطوال الأضلاع الثلاثة (SSS).
• قانون مساحة المثلث بدلالة الجيب: [ الصيغة الكيميائية والرياضية: \[\begin{gathered}\,\text{Area} = \dfrac{1}{2} a b \sin C = \dfrac{1}{2} b c \sin A = \dfrac{1}{2} a c \sin B ]\end{gathered}\] نصف حاصل ضرب طولي أي ضلعين في جيب الزاوية المحصورة بينهما.
• المتطابقة المثلثية الفيثاغورسية: [ الصيغة الكيميائية والرياضية: \[\begin{gathered}\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1 | 1 + \tan ^{2} \theta = \sec ^{2} \theta ]\end{gathered}\] المتطابقة الأم في حساب المثلثات.

03 النسب المثلثية الأساسية ومتطابقات الزوايا الحادة والخاصة

حساب المثلثات هو فرع الهندسة التحليلية الذي يربط بين قياسات الزوايا وأطوال الأضلاع. في المثلث القائم الزاوية:

• sin θ = المقابل / الوتر.

• cos θ = المجاور / الوتر.

• tan θ = المقابل / المجاور = \(\dfrac{\sin \theta}{\cos } \theta \).

النسب للزوايا الخاصة (30°، 45°، 60°):

• \[\begin{gathered}\sin 30{}^{\circ} = \cos 60{}^{\circ} = \dfrac{1}{2}\end{gathered}\]، و \[\begin{gathered}\cos 30{}^{\circ} = \sin 60{}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}\]، و \[\begin{gathered}\tan 30{}^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{gathered}\]، و \[\begin{gathered}\tan 60{}^{\circ} = \sqrt{3}\end{gathered}\].

• \[\begin{gathered}\sin 45{}^{\circ} = \cos 45{}^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{gathered}\]، و tan 45° = 1.

• العلاقة بين الزاويتين المتتامتين: جيب أي زاوية حادة يساوي جيب تمام متممتها: \[\begin{gathered}\sin (90{}^{\circ} - \theta ) = \cos \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos (90{}^{\circ} - \theta ) = \sin \theta \end{gathered}\].
• والمتطابقة الفيثاغورسية الأساسية: \[\begin{gathered}\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1\end{gathered}\] دائماً.

1شكل: إشارات الدوال المثلثية وقوانين الجيب وجيب التمام في المثلث

تعرض الصورة إشارات الدوال المثلثية في الأرباع الأربعة، وقوانين الزوايا المتتامة مثل cos(90° − θ) = sin θ. كما تذكر المتطابقة الأساسية sin²θ + cos²θ = 1 التي تصح لكل زاوية.

04 قاعدة الجيب وحساب نصف قطر الدائرة الخارجة للمثلث

تطبق قاعدة الجيب في أي مثلث (حتى غير قائم الزاوية) إذا علم:

(1) قياس زاويتين وطول أي ضلع (AAS أو ASA): حيث نوجد الزاوية الثالثة بطرح مجموع الزاويتين من 180°، ثم نطبق النسبة لإيجاد الضلعين الآخرين.

(2) طولا ضلعين وقياس زاوية مقابلة لأحدهما (SSA - الحالة المبهمة Ambiguous Case).

صيغة قاعدة الجيب: \[\begin{gathered}\dfrac{a}{\sin } A = \dfrac{b}{\sin } B = \dfrac{c}{\sin } C = 2R\end{gathered}\].

أهمية النسبة 2R في الامتحانات: تمكننا من حساب محيط الدائرة الخارجة للمثلث (2πR) ومساحتها (πR²) بمعرفة ضلع واحد والزاوية المقابلة له فقط دون الحاجة لرسم الدائرة أو تحديد مركزها!

05 قاعدة جيب التمام وزوايا الارتفاع والانخفاض والتطبيقات

تطبق قاعدة جيب التمام في حالتين رئيسيتين:

الحالة الأولى: إذا علم طولا ضلعين وقياس الزاوية المحصورة بينهما (SAS): فنوجد طول الضلع الثالث من: \[\begin{gathered}a = \sqrt{[b^{2} + c^{2} - 2\,\text{bc} \cos A]}\end{gathered}\].

• الحالة الثانية: إذا علمت أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث (SSS): فنوجد قياس أي زاوية من جيب تمامها: \[\begin{gathered}\cos A = \dfrac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2\,\text{bc}}\end{gathered}\].
• فإذا كانت قيمة cos موجبة كانت الزاوية حادة، وإذا كانت سالبة كانت الزاوية منفرجة، وإذا كانت صفراً كانت الزاوية قائمة.

• تطبيقات زوايا الارتفاع والانخفاض: لرصد قمة برج أو جبل أو منارة بحرية، تقاس زاوية الارتفاع θ باستخدام جهاز الثيودوليت.
• بمعرفة المسافة الأفقية d، يكون ارتفاع البرج \[\begin{gathered}h = d \times \tan \theta \end{gathered}\].
• وفي حالة وجود عائق يمنع الاقتراب من قاعدة البرج، نتحرك مسافة أفقية x على خط مستقيم ونقيس زاويتي ارتفاع مختلفتين ونطبق قاعدة الجيب في المثلثات المتداخلة لحساب الارتفاع بدقة.

06 جداول المقارنة

جدول: مقارنة بين استخدام قاعدة الجيب وقاعدة جيب التمام في حل المثلث

07 أمثلة محلولة

• حل مثلث باستخدام قاعدة الجيب وحساب نصف قطر الدائرة الخارجةالمعطيات والتفاعل والمطلوب: في المثلث ABC: إذا كان قياس الزاوية A = 45°، وقياس الزاوية B = 60°، وطول الضلع c = 10 cm. احسب: (1) قياس الزاوية C، (2) طولي الضلعين a و b، (3) مساحة الدائرة المارة برؤوس المثلث الخارجة. \[\begin{gathered}(\pi = 3.1416)\end{gathered}\].خطوات الحل والبرهان الكيميائي: [1] أولاً: حساب قياس الزاوية الثالثة C: قياس ∠\[\begin{gathered}C = 180{}^{\circ} - (45{}^{\circ} + 60{}^{\circ}) = 180{}^{\circ} - 105{}^{\circ} = 75{}^{\circ}. [2]\end{gathered}\] ثانياً: نطبق قاعدة الجيب: \[\begin{gathered}\dfrac{a}{\sin } A = \dfrac{b}{\sin } B = \dfrac{c}{\sin } C = 2R. \dfrac{[3] a}{\sin } 45{}^{\circ} = \dfrac{b}{\sin } 60{}^{\circ} = \dfrac{10}{\sin } 75{}^{\circ}. [4]\end{gathered}\] نحسب sin 75° بالآلة الحاسبة: \[\begin{gathered}\sin 75{}^{\circ} \approx 0.9659. [5]\end{gathered}\] طول الضلع \[\begin{gathered}a = \dfrac{10 \times \sin 45{}^{\circ}}{\sin } 75{}^{\circ} = \dfrac{10 \times 0.7071}{0.9659} \approx 7.32 \,\text{cm}. [6]\end{gathered}\] طول الضلع \[\begin{gathered}b = \dfrac{10 \times \sin 60{}^{\circ}}{\sin } 75{}^{\circ} = \dfrac{10 \times 0.8660}{0.9659} \approx 8.97 \,\text{cm}. [7]\end{gathered}\] ثالثاً: حساب نصف قطر الدائرة الخارجة R: \[\begin{gathered}2R = \dfrac{c}{\sin } C = \dfrac{10}{0.9659} \approx 10.353 \,\text{cm} ==\;\color{#15803d}{\mathbf{& \,\text{gt} ; R \approx 5.176 \,\text{cm}}}\end{gathered}\]. [8] مساحة الدائرة الخارجة = \[\begin{gathered}\pi R^{2} = 3.1416 \times (5.176)^{2} \approx 3.1416 \times 26.79 \approx 84.17 \,\text{cm}^{2}\end{gathered}\].💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: تذكر دائماً: النسبة الكاملة في قاعدة الجيب (ضلع معلوم مع زاويته المقابلة) تساوي 2R قطر الدائرة الخارجة!
• حساب قياس أكبر زاوية في مثلث بدلالة أضلاعهالمعطيات والتفاعل والمطلوب: مثلث أطوال أضلاعه: \[\begin{gathered}a = 5 \,\text{cm}, b = 7 \,\text{cm}, c = 8 \,\text{cm}\end{gathered}\]. احسب قياس أكبر زوايا المثلث، ومساحة المثلث.خطوات الحل والبرهان الكيميائي: [1] في أي مثلث، أكبر زاوية تقابل دائماً أطول ضلع. أطول ضلع هو c = 8 cm، إذاً أكبر زاوية هي الزاوية C المقابلة له. [2] نطبق قانون جيب التمام للزاوية C: \[\begin{gathered}\cos C = \dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}. [3] \cos C = \dfrac{5^{2} + 7^{2} - 8^{2}}{2 \times 5 \times 7} = \dfrac{25 + 49 - 64}{70} = \dfrac{74 - 64}{70} = \dfrac{10}{70} = \dfrac{1}{7} \approx 0.14286. [4]\end{gathered}\] بما أن قيمة cos موجبة، فإن الزاوية حادة: قياس ∠\[\begin{gathered}C = \cos ^{-1}\left(\dfrac{1}{7}\right) \approx 81.79{}^{\circ}\end{gathered}\] (أو 81° 47' 12''). [5] ثانياً: حساب مساحة المثلث: \[\begin{gathered}\,\text{Area} = \dfrac{1}{2} a b \sin C = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin (81.79{}^{\circ}). [6] \sin (81.79{}^{\circ}) \approx 0.9897 ==\end{gathered}\]> \[\begin{gathered}\,\text{Area} = 17.5 \times 0.9897 \approx 17.32 \,\text{cm}^{2}\end{gathered}\].💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: قاعدة ذهبية: أكبر زاوية تقابل أكبر ضلع، وأصغر زاوية تقابل أصغر ضلع!

08 تكات وملاحظات امتحانية

• قاعدة الجيب: \[\begin{gathered}\dfrac{a}{\sin } A = \dfrac{b}{\sin } B = \dfrac{c}{\sin } C = 2R\end{gathered}\].
• قاعدة جيب التمام: \[\begin{gathered}a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2\,\text{bc} \cos A\end{gathered}\] وتستخدم عند معرفة ضلعين وزاوية محصورة أو الأضلاع الثلاثة.
• مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب طولي أي ضلعين في جيب الزاوية المحصورة بينهما.
• إذا كانت قيمة cos A سالبة فهذا يعني حتماً أن الزاوية A منفرجة وقياسها أكبر من 90°.
• زاوية الارتفاع المقاسة من نقطة تساوي تماماً زاوية الانخفاض المقاسة من قمة الجسم بالتبادل.

09 الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج

10 تدريبات تفاعلية على الدرس