05 ثالثاً: معادلة الخط المستقيم في الفراغ ثلاثي الأبعاد والعلاقات بين المستقيمات
- يتحدد أي خط مستقيم في الفراغ بمعرفة نقطة واقعة عليه ومتجه اتجاه يوازيه: 1) صور معادلة الخط المستقيم: إذا كان المستقيم يمر بالنقطة ق(س₁، ص₁، ع₁) وله متجه اتجاه هـ→ = (أ، ب، جـ): أ- الصورة المتجهة: ر→ = ق→ + ك هـ→ (حيث ك هو البارامتر أو المعامل القياسي).
- ب- المعادلات البارامترية: س = س₁ + ك أ، ص = ص₁ + ك ب، ع = ع₁ + ك جـ.
- ج- المعادلات الكارتيزية (الإحداثية): (س - س\(_{1}) /\) أ = (ص - ص\(_{1}) /\) ب = (ع - ع\(_{1}) /\) جـ؛
- فإذا كان أحد جيوب الاتجاه صفراً (مثلاً جـ = 0)، تكتب المعادلة: (س - س\(_{1}) /\) أ = (ص - ص\(_{1}) /\) ب، ع = ع₁.
-
- الزاوية بين مستقيمين: تتعين جيب تمام الزاوية الحادة θ بين مستقيمين لهما متجها اتجاه هـ₁→ و هـ₂→ من القانون: cos θ = |هـ₁→ · هـ\(_{2}\rightarrow | / [ ||\)هـ₁→|| · ||هـ₂→|| ].
- ويكون المستقيمان متعامدين إذا كان هـ₁→ · هـ₂→ = 0؛
- ويكونان متوازيين إذا كان هـ₁→ = م هـ₂→ أو هـ₁→ × هـ₂→ = و→.
-
الأوضاع النسبية لمستقيمين في الفراغ: قد يكون المستقيمان: متوازيين (متجهي اتجاههما متناسبان ولا يتقاطعان)، أو منطبقين، أو متقاطعين في نقطة واحدة (يجمعهما مستوى واحد)، أو 'متخالفين' (Skew Lines: لا يتوازيان ولا يتقاطعان ولا يجمعهما مستوى واحد إطلاقاً).
-
- طول العمود الساقط من نقطة على مستقيم: لتعيين بعد نقطة أ عن مستقيم ل: نحدد نقطة ب على المستقيم ومتجه اتجاهه هـ→؛
- فيكون طول العمود: ل = ||ب→أ × هـ→|| / ||هـ→||.