07 أمثلة محلولة
- حل معادلتين خطيتين بطريقة كرامرالمعطيات والتفاعل والمطلوب: باستخدام طريقة كرامر، أوجد مجموعة الحل للنظام الخطي الآتي: \[\begin{gathered}3x + 2y = 12\end{gathered}\] و 5x - 3y = 1.خطوات الحل والبرهان الكيميائي: [1] أولاً: نكتب محدد المعاملات العام Δ: Δ = |3 2; 5 -3|. [2] قيمة \[\begin{gathered}\Delta = (3 \times -3) - (2 \times 5) = -9 - 10 = -19. [3]\end{gathered}\] بما أن Δ = -19 ≠ 0، فإن للنظام حلاً وحيداً ويمكن استخدام طريقة كرامر. [4] ثانياً: نكتب محدد x باستبدال العمود الأول بعمود الثوابت [12; 1]: Δx = |12 2; 1 -3|. [5] قيمة \[\begin{gathered}\Delta x = (12 \times -3) - (2 \times 1) = -36 - 2 = -38. [6]\end{gathered}\] ثالثاً: نكتب محدد y باستبدال العمود الثاني بعمود الثوابت [12; 1]: Δy = |3 12; 5 1|. [7] قيمة \[\begin{gathered}\Delta y = (3 \times 1) - (12 \times 5) = 3 - 60 = -57. [8]\end{gathered}\] رابعاً: حساب قيم المجاهيل: \[\begin{gathered}[9] x = \dfrac{\Delta x}{\Delta}= -\dfrac{38}{-19} = 2. [10] y = \dfrac{\Delta y}{\Delta}= -\dfrac{57}{-19} = 3. [11]\end{gathered}\] التحقق من صحة الحل في المعادلة الأولى: \[\begin{gathered}3(2) + 2(3) = 6 + 6 = 12\end{gathered}\] (صحيحة 100%). [12] مجموعة الحل: \[\begin{gathered}S.S = {(2, 3)}\end{gathered}\].💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: طريقة كرامر منظمة وسهلة وتضمن الدرجة النهائية دون الوقوع في أخطاء الإشارات!
- إيجاد المعكوس الضربي لمصفوفة مربعة 2×2المعطيات والتفاعل والمطلوب: أوجد المعكوس الضربي للمصفوفة A = [4 7; 1 2]، ثم تحقق من أن \[\begin{gathered}A \times A^{-1} = I\end{gathered}\].خطوات الحل والبرهان الكيميائي: [1] أولاً: نحسب قيمة محدد المصفوفة |A|: |\[\begin{gathered}A| = (4 \times 2) - (7 \times 1) = 8 - 7 = 1. [2]\end{gathered}\] بما أن |A| = 1 ≠ 0، فإن المصفوفة غير منفردة ولها معكوس ضربي \(A^{-1.} [3]\) ثانياً: نطبق قانون المعكوس الضربي: \[\begin{gathered}A^{-1} = (1 / |A|) \times [d -b\end{gathered}\]; -c a]. [4] نبدل عنصري القطر الرئيسي (4 و 2 يصبحان 2 و 4)، ونغير إشارتي القطر الفرعي (7 و 1 يصبحان -7 و -1): \[\begin{gathered}[5] A^{-1} = \left(\dfrac{1}{1}\right) \times [2 -7\end{gathered}\]; \[\begin{gathered}-1 4] = [2 -7\end{gathered}\]; -1 4]. [6] ثالثاً: التحقق بضرب A في \(A^{-1}\): \[\begin{gathered}[7] A \times A^{-1} = [4 7\end{gathered}\]; 1 2] × [2 -7; -1 4]. [8] العنصر \[\begin{gathered}c_{11} = (4\times 2) + (7\times -1) = 8 - 7 = 1. [9]\end{gathered}\] العنصر \[\begin{gathered}c_{12} = (4\times -7) + (7\times 4) = -28 + 28 = 0. [10]\end{gathered}\] العنصر \[\begin{gathered}c_{21} = (1\times 2) + (2\times -1) = 2 - 2 = 0. [11]\end{gathered}\] العنصر \[\begin{gathered}c_{22} = (1\times -7) + (2\times 4) = -7 + 8 = 1. [12]\end{gathered}\] الناتج = [1 0; 0 1] = I (مصفوفة الوحدة، وهو المطلوب تحققه إثباتياً).💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: تذكر: إذا كانت قيمة المحدد |A| = 0 فإن المصفوفة تسمى مصفوفة منفردة وليس لها معكوس ضربي!
📝 بنك أسئلة هذه النقطة
47 سؤال مرتبط بهذه النقطة فقط، منها 47 سؤال بالصور.
