التباديل والتوافيق تضع الأساس المنطقي لحساب التشكيلات والترتيبات والاختيارات العشوائية. وتقدم نظرية ذات الحدين مفكوك المقادير الجبرية وحساب الحد العام والأوسط والنسب بين الحدود المتتالية.
🌳 شجرة التصنيفات والمفاهيم الهيكلية (Hierarchy Concept Tree)
خريطة ذهنية هيكلية مستوحاة من أسلوب كبار معلمي الثانوية العامة ونظم التعلم الحديثة لتنظيم استيعاب الطالب قبل الخوض في التفاصيل:
📋 سبورة الأستاذ الذهبية وتريكات الامتحان (The Master Teacher's Blackboard)
أسلوب كبار معلمي الثانوية العامة • يوتيوب- ⚡ مجال الدالة والقيود: قبل البدء في الاشتقاق أو التكامل، حدد دائماً مجال الدالة (استبعد أصفار المقام، والقيم السالبة تحت الجذور الزوجية، وما داخل اللوغاريتمات).
- ⚡ فخ قاعدة السلسلة (Chain Rule): لا تنسَ ضرب المشتقة في مشتقة ما بداخل القوس أو مشتقة الزاوية في الدوال المثلثية!
- ⚡ النقط الحرجة ونقاط الانقلاب: النقط الحرجة تكون عند المشتقة الأولى = صفر أو غير معرفة. نقاط الانقلاب تكون عند المشتقة الثانية = صفر بشرط تغير إشارة التحدب قبلها وبعدها.
- ⚡ ثابت التكامل C: في التكامل غير المحدد تذكر دائماً إضافة الثابت C، ولا تتسرع في فك الأقواس إذا كان بالإمكان جعل ما خارج القوس مشتقة لما بداخله.
01 أولًا: التباديل (Permutations) والتوافيق (Combinations)
| وجه المقارنة | التباديل nPr | التوافيق nCr |
|---|---|---|
| أهمية الترتيب | الترتيب مهم وأساسي | الترتيب غير مهم (مجرد اختيار) |
| القانون بالمضاريب | n! / (n - r)! | n! / [r! · (n - r)!] = nPr / r! |
| العلاقة الأساسية | nPn = n! و nP0 = 1 | nC0 = nCn = 1 و nC1 = n |
| قانون التبسيط | - | nCr = nC(n - r) |
| قانون النسبة | - | nCr / nC(r - 1) = (n - r + 1) / r |
02 ثانيًا: نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب وقوانين الحد العام والأوسط
مفكوك (x + a)^n:
\[ (x + a)^n = \sum_{r=0}^{n} inom{n}{r} x^{n-r} a^r \]
- عدد حدود المفكوك: يساوي (n + 1) حداً.
- الحد العام T_(r+1): يُحسب من العلاقة: T_(r+1) = nCr · (الحد الأول)^(n - r) · (الحد الثاني)^r.
- الحد الخالي من x: نضع أس x في الحد العام مساوياً للصفر ونوجد قيمة r.
- الحدان الأوسطان: إذا كانت n فردية يوجد حدان أوسطان رتبتاهما (n + 1)/2 و (n + 3)/2. وإذا كانت n زوجية يوجد حد أوسط وحيد رتبته (n/2) + 1.
⚠️ فخاخ وزارية شائعة ونقاط دقيقة في الامتحانات 2026/2027
- الخلط في وحدات القياس: انتبه دائماً إلى تحويل الوحدات الدولية القياسية قبل التعويض في القوانين.
- قراءة السؤال حتى الكلمة الأخيرة: احذر من كلمات النفي والاستثناء مثل (عدا، ما عدا، ليس من، لا ينطبق).
- التمييز بين النتيجة والسبب: فسر الظواهر بناءً على الأساس العلمي المباشر ولا تكتفِ بالوصف السطحي.
💡 الكبسولة الذهبية للمراجعة المركزة ليلة الامتحان
تم استخلاص وتكثيف نواتج التعلم في هذا الدرس لتمكين الطالب من تثبيت المفاهيم البنيوية الأساسية وحل الأسئلة المدمجة متعددة المستويات في أقل من دقيقة لكل سؤال.
تحدَّ نفسك: تقييمات وزارية تفاعلية على هذا الدرس
أسئلة تفاعلية حصرية على نمط الاختبار الوزاري 2026/2027 مبنية على محتوى هذا الدرس فقط، مع التفسير العلمي وسبب صحة أو خطأ كل خيار.
إذا كان nC3 = nC7، فإن قيمة n تساوي:
في مفكوك (x + 1/x)^10، الحد الخالي من x هو الحد:
إذا كان a/b = c/d = 3/5، فإن قيمة المقدار (2a + 3c) / (2b + 3d) تساوي:
العدد الذي إذا أُضيف إلى كل من الأعداد 3 ، 5 ، 8 ، 12 تصبح في تناسب متتالٍ هو:
إذا كانت الكميات a, b, c, d في تناسب متسلسل، فإن a/d تساوي بدلالة ثابت التناسب m:
هل أنت جاهز لخوض الاختبار الوزاري الكامل وبنك الـ 300 سؤال؟
اختبر استيعابك الشامل مع المؤقت الزمني وحساب الدرجات والمراجعة التفصيلية لكل سؤال.
🚀 ابدأ بنك الأسئلة الشامل (300+ سؤال) الآن