الدرس الأول: مبدأ العد والتباديل والتوافيق ونظرية ذات الحدين

مراجعة موجزة لمبدأ العد والتباديل والتوافيق التي تقوم عليها معاملات ذات الحدين.
كتابة مفكوك ذات الحدين بأس صحيح موجب باستخدام مثلث باسكال والتوافيق، وإيجاد الحد العام والحد الأوسط.
إيجاد الحد المشتمل على قوة معينة من س والحد الخالي من س، ثم النسبة بين حدين متتاليين وأكبر حد في المفكوك.

🌳 شجرة المفاهيم

الدرس الأول: مبدأ العد والتباديل والتوافيق ونظرية ذات الحدين
├── مراجعة: مبدأ العد والتباديل والتوافيق
│   ├── مبدأ العد
│   └── التباديل والتوافيق
├── 1-1 نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب
│   ├── مثلث باسكال
│   ├── مفكوك ذات الحدين
│   ├── ملاحظات على المفكوك (x+a)n
│   └── حالات خاصة من المفكوك
├── 1-1 الحد العام وحدود المفكوك
│   ├── الحد العام
│   ├── الحد من النهاية
│   └── مجموع مفكوكين ذوي إشارتين مختلفتين
├── 1-2 إيجاد الحد المشتمل على xk من المفكوك
│   ├── خطوات الحل
│   └── أكبر قوة لـ x ومعامل الحد
├── 1-3 الحد الأوسط في مفكوك (x+a)n
│   └── حالتا الحد الأوسط
└── 1-3 النسبة بين حدين متتاليين
    ├── قانون النسبة
    └── أكبر حد في المفكوك

01 مراجعة: مبدأ العد والتباديل والتوافيق

مبدأ العد

مبدأ العد (الضرب): إذا أمكن إجراء عمل أول بـ $m$ طريقة وعمل ثانٍ بـ $n$ طريقة فإن العملين معًا يتمان بـ $m \times n$ طريقة.
مبدأ الجمع: إذا كان الاختيار من مجموعتين لا يشتركان في عناصر فعدد الطرق هو مجموع عدد الطرق في كل مجموعة.
مضروب العدد $n!$ هو حاصل ضرب الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى $n$ ، وقيمته المتفق عليها $0! = 1$ .

التباديل والتوافيق

التباديل $^{n} P_{r}$ : ترتيب $r$ عنصرًا مختارة من $n$ عنصرًا، والترتيب مهم.
التوافيق $^{n} C_{r}$ : اختيار $r$ عنصرًا من $n$ عنصرًا دون اهتمام بالترتيب.

$^{n} P_{r} = \frac{n!}{(n - r)!},^{n} C_{r} = \frac{n!}{r! (n - r)!}$

من العلاقات المهمة: $^{n} C_{r} =^{n} C_{n - r}$ و $^{n} C_{0} =^{n} C_{n} = 1$ و $^{n} C_{1} = n$ .
يرمز للتوافيق أيضًا بالرمز $(\binom{n}{r})$ ، وهو الرمز الذي تُكتب به معاملات المفكوك.

وجه المقارنة	التباديل	التوافيق
أهمية الترتيب	الترتيب مهم	الترتيب غير مهم
القانون	$\frac{n!}{(n - r)!}$	$\frac{n!}{r! (n - r)!}$
العلاقة بينهما	$^{n} P_{r} = r!^{n} C_{r}$	$^{n} C_{r} = \frac{^{n} P_{r}}{r!}$

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1: بكم طريقة تُختار لجنة من 3 طلاب من بين 7 طلاب؟ الحل:

الترتيب غير مهم، فهي توافيق: $^{7} C_{3}$
$^{7} C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$
عدد الطرق 35 طريقة.

02 1-1 نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب

مثلث باسكال

مثلث باسكال ترتيب مثلثي لمعاملات مفكوك $(a + b)^{n}$ ، كل صف فيه يخص أسًّا واحدًا: صف الأس 1 هو (1، 1)، وصف الأس 2 هو (1، 2، 1)، وصف الأس 3 هو (1، 3، 3، 1).
كل عدد في الصف هو مجموع العددين اللذين فوقه، وطرفا كل صف يساويان 1.
يمكن كتابة عناصر الصف رقم $n$ على صورة توافيق: $^{n} C_{0},^{n} C_{1}, \dots,^{n} C_{n}$ .
عدد المجموعات الجزئية لمجموعة عدد عناصرها $n$ يساوي $2^{n}$ ، وهو مجموع عناصر الصف $n$ أي $^{n} C_{0} +^{n} C_{1} + \dots +^{n} C_{n} = 2^{n}$ .

مفكوك ذات الحدين

المفكوك هو كتابة القوة $(x + a)^{n}$ على صورة مجموع حدود. إذا كان $x, a \in R$ و $n \in Z^{+}$ فإن:

$(x + a)^{n} = x^{n} +^{n} C_{1} x^{n - 1} a +^{n} C_{2} x^{n - 2} a^{2} + \dots + a^{n}$

$(x - a)^{n} = x^{n} -^{n} C_{1} x^{n - 1} a +^{n} C_{2} x^{n - 2} a^{2} - \dots + (- a)^{n}$

ملاحظات على المفكوك $(x + a)^{n}$

عدد حدود المفكوك $(n + 1)$ حدًّا.
المفكوك مرتب حسب قوى $x$ تنازليًّا وحسب قوى $a$ تصاعديًّا.
مجموع قوتي $x$ و $a$ في أي حد يساوي $n$ .
دليل التوافيق في أي حد يقل بواحد صحيح عن رتبة ذلك الحد.
في مفكوك $(x - a)^{n}$ تتبادل الإشارات بين الموجب والسالب.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2: اكتب مفكوك $(2 x + 3 y)^{4}$ . الحل:

$(2 x)^{4} +^{4} C_{1} (2 x)^{3} (3 y) +^{4} C_{2} (2 x)^{2} (3 y)^{2} +^{4} C_{3} (2 x) (3 y)^{3} + (3 y)^{4}$
$= 16 x^{4} + 4 \times 8 \times 3 x^{3} y + 6 \times 4 \times 9 x^{2} y^{2} + 4 \times 2 \times 27 x y^{3} + 81 y^{4}$
$= 16 x^{4} + 96 x^{3} y + 216 x^{2} y^{2} + 216 x y^{3} + 81 y^{4}$

حالات خاصة من المفكوك

$(1 + x)^{n} = 1 +^{n} C_{1} x +^{n} C_{2} x^{2} + \dots + x^{n}$

$(1 - x)^{n} = 1 -^{n} C_{1} x +^{n} C_{2} x^{2} - \dots + (- x)^{n}$

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3: اكتب مفكوك $(1 + x)^{6}$ ، ثم أوجد قيمة المجموع $^{6} C_{0} +^{6} C_{1} + \dots +^{6} C_{6}$ . الحل:

$(1 + x)^{6} = 1 + 6 x + 15 x^{2} + 20 x^{3} + 15 x^{4} + 6 x^{5} + x^{6}$
نضع $x = 1$ في الطرفين: $2^{6} = 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1$
المجموع $= 64$

03 1-1 الحد العام وحدود المفكوك

الحد العام

الحد العام $T_{r + 1}$ هو الحد الذي رتبته $(r + 1)$ في مفكوك $(x + a)^{n}$ حيث $0 \leq r \leq n$ .

$T_{r + 1} =^{n} C_{r} x^{n - r} a^{r}$

الحد الأول $T_{1}$ يقابل $r = 0$ ، والحد الأخير $T_{n + 1}$ يقابل $r = n$ .
معامل الحد $T_{r + 1}$ = $^{n} C_{r}$ × (معامل الحد الأول) $^{n - r}$ × (معامل الحد الثاني) $^{r}$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 4: أوجد معامل الحد السادس في مفكوك ${(x + \frac{2}{x})}^{8}$ . الحل:

الحد السادس يقابل $r = 5$ : $T_{6} =^{8} C_{5} x^{3} {(\frac{2}{x})}^{5}$
$T_{6} = 56 \times 32 x^{- 2} = 1792 x^{- 2}$
معامل الحد السادس = 1792

الحد من النهاية

الحد رقم $k$ من نهاية مفكوك $(x + a)^{n}$ هو الحد رقم $(n - k + 2)$ من بدايته، لأن عدد الحدود $n + 1$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 5: أوجد الحد الرابع من النهاية في مفكوك ${(2 x - \frac{1}{x})}^{11}$ . الحل:

رتبة الحد من البداية $= 11 - 4 + 2 = 9$ ، أي $r = 8$
$T_{9} =^{11} C_{8} (2 x)^{3} {(- \frac{1}{x})}^{8} = 165 \times 8 x^{3} \times x^{- 8}$
$T_{9} = 1320 x^{- 5}$

مجموع مفكوكين ذوي إشارتين مختلفتين

$(x + a)^{n} + (x - a)^{n} = 2 (T_{1} + T_{3} + T_{5} + \dots)$

$(x + a)^{n} - (x - a)^{n} = 2 (T_{2} + T_{4} + T_{6} + \dots)$

في المجموع تبقى الحدود ذات الرتب الفردية فقط، وفي الفرق تبقى الحدود ذات الرتب الزوجية فقط.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 6: أوجد في أبسط صورة $(x + 2)^{6} + (x - 2)^{6}$ . الحل:

المقدار $= 2 (T_{1} + T_{3} + T_{5} + T_{7})$
$T_{1} = x^{6}$ و $T_{3} =^{6} C_{2} x^{4} \times 4 = 60 x^{4}$
$T_{5} =^{6} C_{4} x^{2} \times 16 = 240 x^{2}$ و $T_{7} = 2^{6} = 64$
المقدار $= 2 x^{6} + 120 x^{4} + 480 x^{2} + 128$

04 1-2 إيجاد الحد المشتمل على $x^{k}$ من المفكوك

خطوات الحل

نفرض أن الحد المطلوب هو الحد العام $T_{r + 1}$ ونكتبه بدلالة $r$ .
نجمع قوى $x$ في الحد العام ونساويها بالقوة المطلوبة $k$ ثم نوجد $r$ .
إذا كانت $r$ عددًا صحيحًا غير سالب وأقل من أو تساوي $n$ فالحد المطلوب هو $T_{r + 1}$ .
إذا لم تكن $r$ عددًا صحيحًا (أي $r \notin N$ ) فلا يوجد في المفكوك حد يحتوي على القوة المطلوبة.
الحد الخالي من $x$ : نجعل مجموع قوى $x$ في الحد العام يساوي صفرًا.
لا حاجة لكتابة المفكوك كله، فالبحث بهذه الطريقة أسرع.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 9: أوجد معامل $x^{3}$ والحد الخالي من $x$ في مفكوك ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{9}$ . الحل:

$T_{r + 1} =^{9} C_{r} (x^{2})^{9 - r} {(\frac{2}{x})}^{r} =^{9} C_{r} 2^{r} x^{18 - 3 r}$
لمعامل $x^{3}$ : $18 - 3 r = 3$ ومنها $r = 5$ ، فالمعامل $=^{9} C_{5} \times 2^{5} = 126 \times 32 = 4032$
للحد الخالي من $x$ : $18 - 3 r = 0$ ومنها $r = 6$
الحد الخالي من $x$ $=^{9} C_{6} \times 2^{6} = 84 \times 64 = 5376$

أكبر قوة لـ $x$ ومعامل الحد

معامل الحد هو الجزء العددي منه بعد حذف قوى $x$ ، ويُحسب بنفس الطريقة وبحذف المتغير.
في مفكوك $(x + a)^{n}$ تكون أكبر قوة لـ $x$ هي $n$ (في الحد الأول).

05 1-3 الحد الأوسط في مفكوك $(x + a)^{n}$

حالتا الحد الأوسط

عدد حدود المفكوك $n + 1$ ، فتتحدد رتبة الحد الأوسط بحسب $n$ .
إذا كان $n$ عددًا زوجيًّا: عدد الحدود فردي، فيوجد حد أوسط وحيد رتبته $\frac{n}{2} + 1$ .
إذا كان $n$ عددًا فرديًّا: عدد الحدود زوجي، فيوجد حدان أوسطان رتبتاهما $\frac{n + 1}{2}$ و $\frac{n + 3}{2}$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 12: أوجد الحد الأوسط في مفكوك ${(x + \frac{2}{x})}^{8}$ . الحل:

$n = 8$ زوجي، فرتبة الحد الأوسط $= \frac{8}{2} + 1 = 5$
$T_{5} =^{8} C_{4} x^{4} {(\frac{2}{x})}^{4} = 70 \times 16 = 1120$

06 1-3 النسبة بين حدين متتاليين

قانون النسبة

بقسمة $T_{r + 1}$ على $T_{r}$ في مفكوك $(x + a)^{n}$ مع استخدام $\frac{^{n} C_{r}}{^{n} C_{r - 1}} = \frac{n - r + 1}{r}$ نحصل على:

$\frac{T_{r + 1}}{T_{r}} = \frac{n - r + 1}{r} \times \frac{a}{x}$

أي أن نسبة الحد الثاني إلى الحد الأول في المفكوك، مضروبة في $\frac{n - r + 1}{r}$ ، تعطي نسبة أي حدين متتاليين.
نسبة المعاملين: $\frac{معامل T_{r + 1}}{معامل T_{r}} = \frac{n - r + 1}{r} \times \frac{معامل الحد الثاني}{معامل الحد الأول}$
نسبة معاملي توافيق متتاليين: $\frac{^{n} C_{r}}{^{n} C_{r - 1}} = \frac{n - r + 1}{r}$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 16: من مفكوك $(x + 2 y)^{12}$ أوجد: (أ) $\frac{T_{3}}{T_{2}}$ (ب) $\frac{معامل T_{7}}{معامل T_{8}}$ . الحل:

(أ) $\frac{T_{3}}{T_{2}} = \frac{12 - 2 + 1}{2} \times \frac{2 y}{x} = \frac{11 y}{x}$
(ب) $\frac{معامل T_{8}}{معامل T_{7}} = \frac{12 - 7 + 1}{7} \times 2 = \frac{12}{7}$
إذن $\frac{معامل T_{7}}{معامل T_{8}} = \frac{7}{12}$

أكبر حد في المفكوك

يزداد الحد عند الانتقال من $T_{r}$ إلى $T_{r + 1}$ إذا كان $\frac{T_{r + 1}}{T_{r}} > 1$ ويقل إذا كانت النسبة أقل من 1.
نحل المتباينة $\frac{T_{r + 1}}{T_{r}} \geq 1$ ونحدد أكبر قيمة صحيحة لـ $r$ تحققها، فيكون أكبر حد هو الحد التالي لها.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 19: أوجد أكبر حد في مفكوك $(x + y)^{10}$ عندما $x = 2$ و $y = 3$ . الحل:

$\frac{T_{r + 1}}{T_{r}} = \frac{10 - r + 1}{r} \times \frac{3}{2} = \frac{33 - 3 r}{2 r}$
الحدود تزداد ما دامت $\frac{33 - 3 r}{2 r} > 1$ أي $33 > 5 r$ ومنها $r < 6.6$
أي أن $T_{1} < T_{2} < \dots < T_{7}$ ، وعند $r \geq 7$ تكون $T_{8} < T_{7}$ ثم تتناقص الحدود.
أكبر حد هو $T_{7} =^{10} C_{6} 2^{4} 3^{6} = 210 \times 16 \times 729 = 2 449 440$

تحدَّ نفسك: تقييمات وزارية تفاعلية على هذا الدرس

أسئلة تفاعلية حصرية على نمط الاختبار الوزاري 2026/2027 مبنية على محتوى هذا الدرس فقط، مع التفسير العلمي وسبب صحة أو خطأ كل خيار.

سؤال وزاري تطبيقي

إذا كان nC3 = nC7، فإن قيمة n تساوي:

سؤال وزاري تطبيقي

في مفكوك (x + 1/x)¹⁰، الحد الخالي من x هو الحد:

سؤال وزاري تطبيقي

إذا كان a/b = c/d = 3/5، فإن قيمة المقدار (2a + 3c) / (2b + 3d) تساوي:

سؤال وزاري تطبيقي

العدد الذي إذا أُضيف إلى كل من الأعداد 3 ، 5 ، 8 ، 12 تصبح في تناسب متتالٍ هو:

سؤال وزاري تطبيقي

إذا كانت الكميات a, b, c, d في تناسب متسلسل، فإن a/d تساوي بدلالة ثابت التناسب m:

هل أنت جاهز لخوض الاختبار الوزاري الكامل وبنك الـ 300 سؤال؟

اختبر استيعابك الشامل مع المؤقت الزمني وحساب الدرجات والمراجعة التفصيلية لكل سؤال.

🚀 ابدأ بنك الأسئلة الشامل (300+ سؤال) الآن

🧭 نقاط الدرس — اختر نقطة وذاكرها مع بنك أسئلتها

🌳 شجرة المفاهيم

01 مراجعة: مبدأ العد والتباديل والتوافيق

مبدأ العد

التباديل والتوافيق

02 1-1 نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب

مثلث باسكال

مفكوك ذات الحدين

ملاحظات على المفكوك $(x + a)^{n}$

حالات خاصة من المفكوك

03 1-1 الحد العام وحدود المفكوك

الحد العام

الحد من النهاية

مجموع مفكوكين ذوي إشارتين مختلفتين

04 1-2 إيجاد الحد المشتمل على $x^{k}$ من المفكوك

خطوات الحل

أكبر قوة لـ $x$ ومعامل الحد

05 1-3 الحد الأوسط في مفكوك $(x + a)^{n}$

حالتا الحد الأوسط

06 1-3 النسبة بين حدين متتاليين

قانون النسبة

أكبر حد في المفكوك

تحدَّ نفسك: تقييمات وزارية تفاعلية على هذا الدرس

هل أنت جاهز لخوض الاختبار الوزاري الكامل وبنك الـ 300 سؤال؟

أسئلة مستوى صعب على الدرس (نظام الامتحان)

الدرس الأول: مبدأ العد والتباديل والتوافيق ونظرية ذات الحدين

🧭 نقاط الدرس — اختر نقطة وذاكرها مع بنك أسئلتها

🌳 شجرة المفاهيم

01 مراجعة: مبدأ العد والتباديل والتوافيق

مبدأ العد

التباديل والتوافيق

02 1-1 نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب

مثلث باسكال

مفكوك ذات الحدين

ملاحظات على المفكوك (x+a)n

حالات خاصة من المفكوك

03 1-1 الحد العام وحدود المفكوك

الحد العام

الحد من النهاية

مجموع مفكوكين ذوي إشارتين مختلفتين

04 1-2 إيجاد الحد المشتمل على xk من المفكوك

خطوات الحل

أكبر قوة لـ x ومعامل الحد

05 1-3 الحد الأوسط في مفكوك (x+a)n

حالتا الحد الأوسط

06 1-3 النسبة بين حدين متتاليين

قانون النسبة

أكبر حد في المفكوك

تحدَّ نفسك: تقييمات وزارية تفاعلية على هذا الدرس

هل أنت جاهز لخوض الاختبار الوزاري الكامل وبنك الـ 300 سؤال؟

أسئلة مستوى صعب على الدرس (نظام الامتحان)

ملاحظات على المفكوك $(x + a)^{n}$

04 1-2 إيجاد الحد المشتمل على $x^{k}$ من المفكوك

أكبر قوة لـ $x$ ومعامل الحد

05 1-3 الحد الأوسط في مفكوك $(x + a)^{n}$