01 الدرس 2-1: الدالة التربيعية وتمثيلها بيانيًا
2-1-1 تعريف الدالة التربيعية
الدالة التربيعية دالة أعلى قوة للمتغير فيها هي 2، وصورتها العامة \[\begin{gathered}f(x) = \,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c\end{gathered}\] حيث a ≠ 0.
\[\begin{gathered}f(x) = \,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c\end{gathered}\]
- a و b و c أعداد حقيقية وa لا تساوي صفرًا.
- مجال الدالة التربيعية هو ℝ.
- تمثيلها البياني منحنى يسمى القطع المكافئ.
لاحظ: إذا كانت a = 0 اختفى الحد x² وأصبحت الدالة خطية.
علّل: مجال الدالة التربيعية هو ℝ لأننا نستطيع تعويض أي عدد حقيقي في قاعدتها.
مثال 1: هل \[\begin{gathered}f(x) = 3x - x^{2} + 5\end{gathered}\] دالة تربيعية؟ حدد a و b و c.
الحل:
نرتب الحدود: \[\begin{gathered}f(x) = -x^{2} + 3x + 5\end{gathered}\]
أعلى قوة هي 2 ومعاملها −1 ≠ 0.
إذن الدالة تربيعية.
a = −1 ، b = 3 ، c = 5
مثال 2: هل \[\begin{gathered}h(x) = (x - 1)(x + 2)\end{gathered}\] دالة تربيعية؟
الحل:
نفك القوسين: x² + 2x − x − 2
\[\begin{gathered}h(x) = x^{2} + x - 2\end{gathered}\]
a = 1 ≠ 0.
إذن الدالة تربيعية وفيها a = 1 ، b = 1 ، c = −2.
مثال 3: أي الدوال الآتية تربيعية: \[\begin{gathered}f(x) = 2x + 1\end{gathered}\] ، \[\begin{gathered}g(x) = x^{3} + x\end{gathered}\] ، \[\begin{gathered}k(x) = 5 - x^{2}\end{gathered}\]؟
الحل:
f خطية لأن أعلى قوة 1.
g أعلى قوة فيها 3.
\[\begin{gathered}k(x) = -x^{2} + 5\end{gathered}\] أعلى قوة 2.
إذن k وحدها تربيعية.
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- اعتبار الدالة تربيعية وإن كانت a = 0.
- عدم ترتيب الحدود قبل تحديد a و b و c.
- تحديد a بإشارة خاطئة في −x².
2-1-2 قيمة الدالة وتحقق النقطة من المنحنى
نقطة (p ، q) تقع على منحنى الدالة f إذا وفقط إذا كان f(p) = q.
f(p) = q
- نعوض قيمة x في القاعدة.
- نضع الأقواس حول الأعداد السالبة.
لاحظ: (−2)² = 4 بينما −2² = −4.
مثال 1: إذا كانت \[\begin{gathered}f(x) = 2x^{2} - 3x + 1\end{gathered}\] فأوجد f(−2).
الحل:
\[\begin{gathered}f(-2) = 2 \times (-2)^{2} - 3 \times (-2) + 1\end{gathered}\]
= 2 × 4 + 6 + 1
= 15
مثال 2: هل النقطة (3 ، 4) على منحنى \[\begin{gathered}f(x) = x^{2} - 5\end{gathered}\]؟
الحل:
\[\begin{gathered}f(3) = 9 - 5\end{gathered}\]
= 4
الصورة تساوي 4.
إذن النقطة (3 ، 4) على المنحنى.
مثال 3: إذا كان \[\begin{gathered}f(x) = 4x^{2} - 2x\end{gathered}\] فأوجد \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)\).
الحل:
\[\begin{gathered}f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 4 \times \left(\dfrac{1}{4}\right) - 2 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)\end{gathered}\]
= 1 − 1
= 0
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- كتابة −2² = 4.
- نسيان ضرب المعامل في المربع.
- الحكم على النقطة دون تعويض.
2-1-3 صيغة الرأس
صيغة الرأس هي \[\begin{gathered}f(x) = a(x - h)^{2} + k\end{gathered}\]، ورأس المنحنى هو النقطة (h ، k) ومحور تماثله x = h.
\[\begin{gathered}f(x) = a(x - h)^{2} + k\end{gathered}\]
- الرأس (h ، k).
- محور التماثل x = h.
- إذا كانت a > 0 فللدالة قيمة صغرى هي k.
- إذا كانت a < 0 فللدالة قيمة عظمى هي k.
لاحظ: \[\begin{gathered}(x + 1) = x - (-1)\end{gathered}\] فتكون h = −1.
علّل: القيمة k هي أصغر أو أكبر قيمة لأن المقدار a(x − h)² لا يتغير إشارته ويساوي صفرًا عند x = h.
مثال 1: حدد الرأس ومحور التماثل ونوع القيمة القصوى لـ \[\begin{gathered}f(x) = (x - 3)^{2} + 1\end{gathered}\].
الحل:
a = 1 ، h = 3 ، k = 1
الرأس (3 ، 1)
محور التماثل x = 3
a > 0 فالقيمة الصغرى 1.
مثال 2: حدد الرأس والقيمة القصوى لـ \[\begin{gathered}f(x) = -2(x + 1)^{2} + 5\end{gathered}\].
الحل:
h = −1 ، k = 5 ، a = −2
الرأس (−1 ، 5)
محور التماثل x = −1
a < 0 فالقيمة العظمى 5.
مثال 3: حدد الرأس لـ \[\begin{gathered}f(x) = 3(x - 5)^{2}\end{gathered}\].
الحل:
h = 5 ، k = 0
الرأس (5 ، 0) ويقع على محور السينات.
القيمة الصغرى 0 لأن a > 0.
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- أخذ h بنفس إشارة ما داخل القوس.
- الخلط بين القيمة العظمى والصغرى.
- نسيان k عندما تكون الدالة (x − h)² فقط (k = 0).
2-1-4 كتابة معادلة الدالة من رأسها ونقطة عليها
نكتب \[\begin{gathered}f(x) = a(x - h)^{2} + k\end{gathered}\] بإحداثيات الرأس، ثم نعوض النقطة لإيجاد a.
- نعوض h و k.
- نعوض النقطة المعلومة لإيجاد a.
- نكتب القاعدة النهائية.
تذكر: يمكن التحقق بتعويض النقطة في القاعدة النهائية.
مثال 1: اكتب الدالة التي رأسها (4 ، −3) وتمر بالنقطة (5 ، −1).
الحل:
\[\begin{gathered}f(x) = a(x - 4)^{2} - 3\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}-1 = a(1)^{2} - 3\end{gathered}\]
a = 2
\[\begin{gathered}f(x) = 2(x - 4)^{2} - 3\end{gathered}\]
مثال 2: اكتب الدالة التي رأسها (−1 ، 2) وتمر بالنقطة (1 ، −2).
الحل:
\[\begin{gathered}f(x) = a(x + 1)^{2} + 2\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}-2 = a(2)^{2} + 2\end{gathered}\]
4a = −4
a = −1
\[\begin{gathered}f(x) = -(x + 1)^{2} + 2\end{gathered}\]
مثال 3: اكتب الدالة التي رأسها (0 ، 3) وتمر بالنقطة (2 ، −5).
الحل:
\[\begin{gathered}f(x) = a x^{2} + 3\end{gathered}\]
−5 = 4a + 3
a = −2
\[\begin{gathered}f(x) = -2x^{2} + 3\end{gathered}\]
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- نسيان إشارة h.
- حل خاطئ لقيمة a.
2-1-5 رسم منحنى الدالة التربيعية
نعين الرأس ومحور التماثل ثم نكون جدول قيم لنقاط على جانبي المحور ونصل بينها بمنحنى أملس.
- نعين الرأس (h ، k).
- نختار قيم x متماثلة على جانبي h.
- نعين النقاط ونصل بينها.
- نكتب المدى ونحدد المقطع الصادي f(0).
لاحظ: المدى [k ، ∞) عند a > 0 و (−∞ ، k] عند a < 0.
مثال 1: مثّل \[\begin{gathered}f(x) = (x - 2)^{2} - 1\end{gathered}\].
الحل:
الرأس (2 ، −1) ، محور التماثل x = 2
x : 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4
f(x) : 3 ، 0 ، −1 ، 0 ، 3
المقطع الصادي 3
المدى [−1 ، ∞)
مثال 2: مثّل \[\begin{gathered}f(x) = -(x + 1)^{2} + 4\end{gathered}\].
الحل:
الرأس (−1 ، 4) والمنحنى مفتوح لأسفل.
x : −3 ، −2 ، −1 ، 0 ، 1
f(x) : 0 ، 3 ، 4 ، 3 ، 0
المقطع الصادي 3
المدى (−∞ ، 4]
مثال 3: مثّل \[\begin{gathered}f(x) = 2(x - 1)^{2} - 2\end{gathered}\].
الحل:
الرأس (1 ، −2)
x : −1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3
f(x) : 6 ، 0 ، −2 ، 0 ، 6
المقطع الصادي 0 (المنحنى يمر بالأصل)
المدى [−2 ، ∞)
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- اختيار قيم x من جهة واحدة.
- وصل النقاط بخطوط مستقيمة.
- كتابة المدى ℝ.
2-1-6 إيجاد الرأس من الصورة العامة
في \[\begin{gathered}f(x) = \,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c\end{gathered}\] تكون \[\begin{gathered}h = -b \div (2a)\end{gathered}\] و k = f(h).
\[\begin{gathered}h = -b \div (2a)\end{gathered}\]
k = f(h)
- نحسب h ثم نعوضها في الدالة.
- أو نحول الدالة إلى صيغة الرأس بإكمال المربع.
تذكر: ابدأ دائمًا بإشارة b الأصلية: h = −b ÷ 2a.
مثال 1: أوجد رأس \[\begin{gathered}f(x) = x^{2} - 6x + 5\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}h = 6 \div 2 = 3\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}k = 9 - 18 + 5 = -4\end{gathered}\]
الرأس (3 ، −4) والقيمة الصغرى −4.
بإكمال المربع: (x − 3)² − 4 ✓
مثال 2: أوجد القيمة العظمى لـ \[\begin{gathered}f(x) = -x^{2} + 4x + 1\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}h = -4 \div (-2) = 2\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}k = -4 + 8 + 1 = 5\end{gathered}\]
القيمة العظمى 5 عند x = 2.
مثال 3: أوجد رأس \[\begin{gathered}f(x) = 2x^{2} + 8x + 3\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}h = -8 \div 4 = -2\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}k = 2 \times 4 - 16 + 3 = -5\end{gathered}\]
الرأس (−2 ، −5) والقيمة الصغرى −5.
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- نسيان إشارة b في القانون.
- إيجاد h دون k.
- ذكر القيمة العظمى مع a موجبة.
2-1-7 تطبيقات القيمة العظمى والصغرى
نكتب المقدار المطلوب كدالة تربيعية ونوجد قيمتها العظمى أو الصغرى عند الرأس.
- المقدار الأقصى يكون عند الرأس إذا كانت a < 0.
- المقدار الأدنى يكون عند الرأس إذا كانت a > 0.
لاحظ: المربع له أكبر مساحة بين المستطيلات ذات المحيط الواحد.
مثال 1: ارتفاع كرة \[\begin{gathered}h(t) = -5t^{2} + 20t\end{gathered}\] متر بعد t ثانية. أوجد أقصى ارتفاع.
الحل:
\[\begin{gathered}t = -20 \div (-10) = 2\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}h(2) = -20 + 40 = 20\end{gathered}\]
أقصى ارتفاع 20 مترًا بعد ثانيتين.
مثال 2: سياج طوله 40 م يحيط بأرض مستطيلة. أوجد أكبر مساحة.
الحل:
الطول x والعرض 20 − x
\[\begin{gathered}A(x) = x(20 - x) = -x^{2} + 20x\end{gathered}\]
x = 10
A(10) = 100
أكبر مساحة 100 م².
مثال 3: عددان مجموعهما 10، أوجد أكبر حاصل ضرب لهما.
الحل:
العددان x و 10 − x
\[\begin{gathered}P(x) = x(10 - x) = -x^{2} + 10x\end{gathered}\]
x = 5
P(5) = 25
أكبر حاصل ضرب 25.
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- نسيان كتابة الدالة بدلالة متغير واحد.
- ذكر الرأس بدل القيمة المطلوبة.