01 الدرس 3-1: تشابه المضلعات
3-1-1 شرطا تشابه مضلعين
يتشابه مضلعان إذا تحقق شرطان معًا.
- الزوايا المتناظرة متساوية في القياس.
- أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة.
يُرمز للتشابه بالرمز ~ فنكتب ABCD ~ XYZW. ترتيب الحروف مهم، لأنه يحدد الرؤوس المتناظرة: A تناظر X و B تناظر Y وهكذا.
لاحظ: يكفي لتشابه مضلعين أن يتحقق الشرطان معًا، فلا يكفي تساوي الزوايا فقط (المستطيل والمربع زواياهما قوائم لكنهما غير متشابهين).
نسبة التشابه هي النسبة بين طولي ضلعين متناظرين:
نسبة التشابه = طول ضلع في المضلع الأول ÷ طول الضلع المناظر في المضلع الثاني
تذكر: إذا كانت نسبة التشابه 1 : 1 فالمضلعان متطابقان.
مثال 1: هل المستطيلان بُعدا الأول 4 سم و 6 سم وبُعدا الثاني 6 سم و 9 سم متشابهان؟
الحل:
الزوايا جميعها قوائم فهي متساوية.
نسبة الأطوال المتناظرة:
\(4 \div 6 = \dfrac{2}{3}\)
\(6 \div 9 = \dfrac{2}{3}\)
النسبتان متساويتان.
إذن المستطيلان متشابهان ونسبة التشابه 2 : 3.
مثال 2: هل المستطيلان بُعدا الأول 3 سم و 5 سم وبُعدا الثاني 6 سم و 9 سم متشابهان؟
الحل:
\(3 \div 6 = \dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{5 \div 9 \neq 1}{2}\)
الأضلاع المتناظرة غير متناسبة.
إذن المستطيلان غير متشابهين.
مثال 3: المضلع ABCD ~ XYZW حيث AB = 6 سم و XY = 9 سم و BC = 8 سم. أوجد YZ.
الحل:
نسبة التشابه = \[\begin{gathered}\,\text{AB} \div \,\text{XY} = 6 \div 9 = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{BC} \div \,\text{YZ} = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}8 \div \,\text{YZ} = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{YZ} = \dfrac{8 \times 3}{2} = 12\end{gathered}\] سم
تذكر: الأخطاء الشائعة: مقارنة ضلعين غير متناظرين؛ اعتبار تساوي الزوايا كافيًا؛ عكس النسبة (ضلع الثاني ÷ الأول) في جزء من الحل دون الآخر.
3-1-2 العلاقة بين المحيطين والمساحتين
في المضلعين المتشابهين: نسبة المحيطين = نسبة التشابه، ونسبة المساحتين = مربع نسبة التشابه.
محيط الأول ÷ محيط الثاني = k
مساحة الأول ÷ مساحة الثاني = k²
لاحظ: المحيط طول فتتأثر نسبته بالنسبة k نفسها، أما المساحة فهي بُعدان فتتأثر بمربع النسبة.
مثال 1: مضلعان متشابهان محيطاهما 24 سم و 36 سم. أوجد نسبة التشابه ونسبة مساحتيهما.
الحل:
نسبة التشابه = \[\begin{gathered}24 \div 36 = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
نسبة المساحتين = \[\begin{gathered}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} = \dfrac{4}{9}\end{gathered}\]
مثال 2: مستطيلان متشابهان نسبة التشابه 1 : 3 ومساحة الأصغر 20 سم². أوجد مساحة الأكبر.
الحل:
نسبة المساحتين = 1² : 3² = 1 : 9
مساحة الأكبر = \[\begin{gathered}20 \times 9 = 180\end{gathered}\] سم²
مثال 3: مثلثان متشابهان مساحتاهما 16 سم² و 49 سم². ما نسبة التشابه؟
الحل:
نسبة المساحتين = 16 ÷ 49
نسبة التشابه = \[\begin{gathered}\sqrt{16 \div 49} = \dfrac{4}{7}\end{gathered}\]
تذكر: الأخطاء الشائعة: استعمال نسبة التشابه لنسبة المساحتين دون تربيعها؛ نسيان الجذر عند الرجوع من نسبة المساحتين إلى نسبة التشابه.