1-1-1 الحاجة إلى العدد التخيلي

العدد التخيلي i هو العدد الذي مربعه يساوي −1.

i² = −1

• درست أنظمة الأعداد: الطبيعية ثم الصحيحة ثم النسبية ثم الحقيقية، وكل نظام وُسِّع ليحل معادلات لم يحلها النظام السابق.
• المعادلة x² + 1 = 0 لا حل لها في الأعداد الحقيقية، لأن مربع أي عدد حقيقي لا يكون سالبًا.
• منحنى الدالة y = x² + 1 لا يقطع محور السينات، وهذا يعني أنه لا يوجد حل حقيقي.
• لذلك نحتاج مجموعة جديدة من الأعداد تُسمى مجموعة الأعداد المركبة.
• يُكتب الرمز في كتاب الطالب ت، ونكتبه هنا i حتى لا تختلط الصيغ.

للجذر التربيعي للعدد السالب نستخدم:

\[\begin{gathered}\sqrt{-a} = \sqrt{a} \times i\end{gathered}\] حيث a > 0

لاحظ: الأعداد على الصورة bi حيث b حقيقي غير صفر تُسمى أعدادًا تخيلية بحتة، مثل 3i و −5i.

تذكر: عند ضرب جذرين لعددين سالبين نحوّل كلًّا منهما إلى i أولًا، ولا نضرب ما تحت الجذرين مباشرة.

الناتج = \[\begin{gathered}2i \times 3i = 6i^{2}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}6i^{2} = 6 \times (-1) = -6\end{gathered}\]

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: كتابة \[\begin{gathered}\sqrt{-4} \times \sqrt{-9} = \sqrt{36} = 6\end{gathered}\] وهذا خطأ لأن القاعدة \[\begin{gathered}\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{\,\text{ab}}\end{gathered}\] لا تصح مع الأعداد السالبة؛
• ونسيان أن i² = −1 وليس 1.