03 1-1-3 مفهوم العدد المركب
العدد المركب هو عدد يُكتب على الصورة z = a + bi حيث a و b عددان حقيقيان.
- a هو الجزء الحقيقي للعدد z ويُكتب Re(z).
- b هو الجزء التخيلي للعدد z ويُكتب Im(z).
- إذا كان b = 0 فالعدد حقيقي (مثل 7 = 7 + 0i).
- إذا كان a = 0 و b ≠ 0 فالعدد تخيلي بحت (مثل −5i).
- الأعداد الحقيقية جزء من الأعداد المركبة، وكذلك الأعداد التخيلية.
- الجزء التخيلي هو العدد b نفسه وليس bi.
لاحظ: مجموعة الأعداد الحقيقية ⊂ مجموعة الأعداد المركبة، لأن كل عدد حقيقي a يمكن كتابته a + 0i.
مثال 1: عيّن الجزء الحقيقي والجزء التخيلي لكل عدد: 3 − 4i ، 7 ، −5i.
الحل:
3 − 4i: الحقيقي 3 والتخيلي −4
7: الحقيقي 7 والتخيلي 0
−5i: الحقيقي 0 والتخيلي −5
مثال 2: اكتب العدد √(−9) + 2 بالصورة a + bi.
الحل:
√(−9) = 3i
العدد = 2 + 3i
الجزء الحقيقي 2 والتخيلي 3.
مثال 3: اكتب العدد 5 + √(−25) ثم صنّفه.
الحل:
√(−25) = 5i
العدد = 5 + 5i
هو عدد مركب غير حقيقي وغير تخيلي بحت لأن جزأيه غير صفريين.
مثال 4: صنّف كلًّا من الأعداد: 0 ، 4i ، 6 ، 1 − i.
الحل:
0: حقيقي (وهو أيضًا صفر)
4i: تخيلي بحت
6: حقيقي
1 − i: مركب غير حقيقي
تذكر: الأخطاء الشائعة: القول إن الجزء التخيلي للعدد 3 − 4i هو −4i (الصحيح −4)؛ نسيان أن العدد الحقيقي يُعد مركبًا جزؤه التخيلي صفر.