الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة

2-1-1 مراجعة النسبة والتناسب

إذا كان \[\begin{gathered}a \div b = c \div d\end{gathered}\] فإن \[\begin{gathered}a \times d = b \times c\end{gathered}\] (حاصل ضرب الطرفين يساوي حاصل ضرب الوسطين).

\[\begin{gathered}a \div b = c \div d\end{gathered}\] ⟺ ad = bc

• النسبة بين كميتين من نوع واحد هي ناتج قسمة إحداهما على الأخرى.
• التناسب هو تساوي نسبتين.
• في التناسب a : b = c : d تسمى a و d الطرفين و b و c الوسطين.
• إذا تساوت عدة نسب فإن (مجموع المقدمات) ÷ (مجموع التوالي) تساوي كل نسبة منها.
• المتوسط المتناسب بين عددين موجبين a و b هو العدد x الذي يحقق x² = ab.

لاحظ: في التناسب يمكن تبديل الطرفين معًا أو الوسطين معًا دون أن يختل التناسب.

تذكر: يلزم أن تكون وحدة القياس واحدة في النسبة، فنحوّل الأطوال إلى وحدة واحدة قبل النسبة.

نفرض العددين 3k و 4k.

\[\begin{gathered}3k + 4k = 28\end{gathered}\]

7k = 28 ومنه k = 4

العددان 12 و 16.

تذكر: الأخطاء الشائعة: ضرب طرف في طرف بدل طرف في وسط؛ كتابة النسبة بترتيب مختلف في الطرفين؛ عدم توحيد الوحدات قبل النسبة.

2-1-2 تعريف تشابه مضلعين

يتشابه مضلعان إذا كان لهما نفس عدد الأضلاع، وتساوت قياسات زواياهما المتناظرة، وتناسبت أطوال أضلاعهما المتناظرة.

• الشرط الأول: الزوايا المتناظرة متساوية في القياس.
• الشرط الثاني: النسبة بين طولي كل ضلعين متناظرين ثابتة.
• نكتب التشابه بالرمز ~ ونحافظ على ترتيب الرؤوس المتناظرة: ABCD ~ XYZW.
• الرأس الأول يناظر الرأس الأول، والثاني الثاني، وهكذا.
• لا يكفي أحد الشرطين وحده.

لاحظ:

• المستطيل والمربع زواياهما قوائم متساوية لكن أضلاعهما غير متناسبة؛
• وعلى العكس معينان ضلع كل منهما 5 سم أضلاعهما متناسبة لكن زواياهما قد تختلف.
• لا يتشابه الشكلان إلا بالشرطين معًا.

علّل:

• لماذا يلزم تحقق الشرطين معًا؟
• لأن تساوي الزوايا يحفظ الشكل لكنه لا يحفظ النسب بين الأبعاد، وتناسب الأضلاع يحفظ النسب لكنه لا يحفظ زوايا الشكل.

الزوايا جميعها قوائم فهي متساوية.

\(6 \div 9 = \dfrac{2}{3}\)

\[\begin{gathered}10 \div 15 = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]

النسبتان متساويتان.

المستطيلان متشابهان.

\(2 \div 4 = \dfrac{1}{2}\) و \(3 \div 6 = \dfrac{1}{2}\) و \(4 \div 8 = \dfrac{1}{2}\)

لكن \(\dfrac{5 \div 11 \neq 1}{2}\)

الأضلاع المتناظرة غير متناسبة.

الشكلان غير متشابهين.

أضلاعهما متناسبة (النسبة 1 : 1).

الزاويتان 60° و 80° غير متساويتين.

المعينان غير متشابهين.

تذكر: الأخطاء الشائعة: الاكتفاء بتناسب الأضلاع أو بتساوي الزوايا؛ مقارنة ضلعين غير متناظرين لأن الرؤوس لم تُرتَّب.

2-1-3 نسبة التشابه وإيجاد الأطوال المجهولة

نسبة التشابه هي النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين في المضلعين المتشابهين، وهي ثابتة لجميع الأضلاع.

نسبة التشابه k = طول ضلع في الأول ÷ طول الضلع المناظر في الثاني

• إذا كانت k = 1 فالمضلعان متطابقان.
• نسبة محيطي المضلعين المتشابهين تساوي نسبة التشابه نفسها.
• لإيجاد ضلع مجهول: نحسب k من ضلعين معلومين متناظرين ثم نطبقها.
• الزوايا المتناظرة متساوية، فنأخذ قياس الزاوية المناظرة مباشرة.

لاحظ: عند وجود مجهول في التناسب نكتب النسب بنفس الترتيب (الأول ÷ الثاني) في الطرفين.

محيط الأول ÷ محيط الثاني = \(\dfrac{2}{3}\)

محيط الثاني = \[\begin{gathered}\dfrac{50 \times 3}{2} = 75\end{gathered}\]

محيط الأول = \[\begin{gathered}6 + 8 + 10 + 4 = 28\end{gathered}\]

محيط الثاني = \[\begin{gathered}15 + 20 + 25 + 10 = 70\end{gathered}\]

النسبة \[\begin{gathered}28 \div 70 = \dfrac{2}{5}\end{gathered}\] وهي نسبة التشابه.

A تناظر K.

الزوايا المتناظرة متساوية.

قياس الزاوية K = 70°

تذكر: الأخطاء الشائعة: قلب النسبة في بعض الأضلاع دون غيرها؛ استعمال ضلعين غير متناظرين؛ جمع النسبة مع طول.

2-1-4 مضلعات متشابهة دائمًا ومضلعات ليست كذلك

أي مضلعين منتظمين لهما العدد نفسه من الأضلاع متشابهان.

• المضلع المنتظم متساوي الأضلاع ومتساوي الزوايا.
• المربعان دائمًا متشابهان، والمثلثان المتساويا الأضلاع دائمًا متشابهان.
• الدائرتان دائمًا متشابهتان.
• المستطيلان والمعينان وشبها المنحرف ليست متشابهة دائمًا.
• المثلثان القائمان المتساويا الساقين متشابهان (زواياهما 45° و 45° و 90°).

علّل:

• لماذا يتشابه أي مضلعين منتظمين من العدد نفسه؟
• زواياهما متساوية بقانون الزاوية الداخلية، وأضلاع كل منهما متساوية فنسب الأضلاع المتناظرة ثابتة.

كل منهما مضلع منتظم عدد أضلاعه 6.

إذن هما متشابهان.

\[\begin{gathered}k = 4 \div 10 = \dfrac{2}{5}\end{gathered}\]

الزوايا قوائم متساوية.

3 ÷ 3 = 1 بينما 3 ÷ 5 ≠ 1

الأضلاع غير متناسبة.

غير متشابهين.

نسبة التشابه = نسبة المحيطين = \[\begin{gathered}30 \div 45 = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]

ضلع الأول = 30 ÷ 5 = 6

ضلع الثاني = 45 ÷ 5 = 9

وفعلًا \(6 \div 9 = \dfrac{2}{3}\).

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: القول إن أي مستطيلين متشابهان؛
• القول إن أي معينين متشابهان؛
• نسيان أن الشرط يخص المضلعات المنتظمة من العدد نفسه من الأضلاع.

2-1-5 مقياس الرسم والخرائط

مقياس الرسم هو النسبة بين طول في الرسم والطول المناظر له في الحقيقة، والرسم يشابه الواقع.

مقياس الرسم = طول الرسم ÷ الطول الحقيقي

• المقياس 1 : 50000 يعني أن 1 سم في الخريطة يمثل 50000 سم (500 متر) في الواقع.
• نوحّد الوحدات قبل التقسيم.
• زوايا الرسم تساوي زوايا الواقع.

لاحظ: كل مقياس رسم يعطي شكلًا مشابهًا للأصل، والمخططات الهندسية والخرائط تعتمد على هذه الفكرة.

الطول الحقيقي = \[\begin{gathered}4 \times 500000 = 2000000\end{gathered}\] سم

2000000 سم = 20 كم

30 م = 3000 سم

طول الرسم = \[\begin{gathered}3000 \div 200 = 15\end{gathered}\] سم

البعد الأول = \[\begin{gathered}8 \times 500 = 4000\end{gathered}\] سم = 40 م

البعد الثاني = \[\begin{gathered}5 \times 500 = 2500\end{gathered}\] سم = 25 م

تذكر: الأخطاء الشائعة: القسمة بدل الضرب أو العكس؛ ترك الوحدات مختلفة (سم مع كم)؛ استعمال مقياس الطول على المساحات.

2-2-1 حالة تساوي زاويتين (AA)

يتشابه المثلثان إذا تساوى قياسا زاويتين في أحدهما مع قياسي زاويتين في الآخر.

• الزاوية الثالثة تتساوى تلقائيًا لأن مجموع زوايا المثلث 180°.
• بتساوي الزوايا الثلاث تتناسب الأضلاع المتناظرة.
• نكتب رؤوس المثلثين بترتيب الزوايا المتساوية.
• مصادر تساوي الزوايا: زاويتان متقابلتان بالرأس، زاوية مشتركة، زاويتان متبادلتان أو متناظرتان بين متوازيين.

لاحظ: نكتب التشابه بترتيب الرؤوس: △ABC ~ △DEF تعني A ↔ D و B ↔ E و C ↔ F ومن ثَمّ \[\begin{gathered}\,\text{AB} \div \,\text{DE} = \,\text{BC} \div \,\text{EF} = \,\text{AC} \div \,\text{DF}\end{gathered}\].

في △ABC قياس \[\begin{gathered}C = 180{}^{\circ} - 110{}^{\circ} = 70{}^{\circ}\end{gathered}\]

في △DEF قياس \[\begin{gathered}E = 180{}^{\circ} - 120{}^{\circ} = 60{}^{\circ}\end{gathered}\]

A = D و B = E و C = F

△ABC ~ △DEF

الزاويتان AEC و BED متقابلتان بالرأس فهما متساويتان.

الزاويتان EAC و EBD متبادلتان (AC ∥ BD) فهما متساويتان.

△EAC ~ △EBD

\[\begin{gathered}\,\text{AC} \div \,\text{BD} = \,\text{EA} \div \,\text{EB}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}10 \div \,\text{BD} = 4 \div 6\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{BD} = 10 \times 6 \div 4 = 15\end{gathered}\]

الزاوية A مشتركة.

قياس ADE = قياس ABC (متناظرتان).

△ADE ~ △ABC

\[\begin{gathered}\,\text{DE} \div \,\text{BC} = \,\text{AD} \div \,\text{AB} = 4 \div 10\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{DE} = \dfrac{15 \times 2}{5} = 6\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: ترتيب الرؤوس بشكل لا يوافق الزوايا المتساوية؛ ربط ضلع غير مناظر عند كتابة النسبة.

2-2-2 حالة تناسب أطوال الأضلاع الثلاثة (SSS)

إذا تناسبت أطوال الأضلاع الثلاثة في مثلث مع أطوال الأضلاع الثلاثة في مثلث آخر فالمثلثان متشابهان.

• نرتب أضلاع كل مثلث من الأصغر إلى الأكبر ثم نقارن نسب الأضلاع المتناظرة.
• إذا تساوت النسب الثلاث فالمثلثان متشابهان وتتساوى زواياهما المتناظرة.
• الضلع الأصغر يقابل الزاوية الصغرى فيناظر الأصغر في المثلث الآخر.

لاحظ: عند فحص التناسب نقارن الأصغر بالأصغر والأوسط بالأوسط والأكبر بالأكبر.

النسب متساوية فالمثلثان متشابهان.

\(\dfrac{9 \div 19 \neq 1}{2}\)

النسب غير متساوية فالمثلثان غير متشابهين.

تذكر: الأخطاء الشائعة: مقارنة الأكبر بالأصغر؛ الاكتفاء بنسبتين من ثلاث.

2-2-3 حالة تناسب ضلعين وتساوي الزاوية المحصورة (SAS)

إذا تساوت زاوية في مثلث مع زاوية في مثلث آخر، وتناسب طولا الضلعين اللذين يحتويانها مع طولي الضلعين المناظرين، فالمثلثان متشابهان.

• يجب أن تكون الزاوية محصورة بين الضلعين المتناسبين.
• نكتب نسبتين متساويتين ثم نتحقق من تساوي الزاويتين.
• تُستعمل هذه الحالة لإثبات توازي مستقيمين أو مماسية.

علّل: لماذا لا تكفي زاوية غير محصورة؟ لأن موضع الزاوية قد يسمح بمثلثين مختلفين بالنسبة نفسها، فلا يتحدد الشكل.

الزاويتان المحصورتان A و D متساويتان.

△ABC ~ △DEF

الزاوية A مشتركة.

△ADE ~ △ABC

قياس ADE = قياس ABC وهما متناظرتان فإن DE ∥ BC.

\[\begin{gathered}\,\text{DE} = \dfrac{14 \times 1}{4} = 3.5\end{gathered}\]

الزاوية A مشتركة.

△ABC ~ △ACD (A ↔ A و B ↔ C و C ↔ D)

إذن قياس ACD = قياس B.

تذكر: الأخطاء الشائعة: استعمال زاوية ليست محصورة؛ نسيان ذكر أن الزاوية المشتركة متساوية.

2-2-4 إيجاد الأطوال وإثبات العلاقات باستخدام التشابه

نثبت التشابه أولًا ثم نكتب تناسب الأضلاع المتناظرة بحسب ترتيب الرؤوس.

• الخطوة 1: نبحث عن زوايا متساوية أو نسب أضلاع.
• الخطوة 2: نحدد حالة التشابه ونكتب المثلثين بترتيب الرؤوس.
• الخطوة 3: نكتب تناسب الأضلاع المتناظرة.
• الخطوة 4: نعوّض الأطوال ونحل.
• الشكل شبه المنحرف: قطراه يتقاطعان في M فيتشابه △MAB و △MCD عندما AB ∥ CD.

لاحظ: في شبه المنحرف ABCD الذي فيه AB ∥ CD يكون \[\begin{gathered}\,\text{MA} \div \,\text{MC} = \,\text{MB} \div \,\text{MD} = \,\text{AB} \div \,\text{CD}\end{gathered}\].

△MAB ~ △MCD

\[\begin{gathered}\,\text{MA} \div \,\text{MC} = \,\text{AB} \div \,\text{CD} = 12 \div 8 = \dfrac{3}{2}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{MA} + \,\text{MC} = 15\end{gathered}\]

نفرض MA = 3t و MC = 2t.

5t = 15 ومنه t = 3

MA = 9 و MC = 6

الزاوية A مشتركة.

قياس AED = قياس ABC.

△AED ~ △ABC (A ↔ A و E ↔ B و D ↔ C)

\[\begin{gathered}\,\text{AE} \div \,\text{AB} = \,\text{AD} \div \,\text{AC} = \,\text{ED} \div \,\text{BC}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}4 \div 10 = 6 \div \,\text{AC}\end{gathered}\]

AC = 15

\[\begin{gathered}\,\text{ED} = \dfrac{20 \times 4}{10} = 8\end{gathered}\]

الزاوية B مشتركة بين △ABD و △CBA.

قياس BAD = قياس C.

△ABD ~ △CBA (A ↔ C و B ↔ B و D ↔ A)

\[\begin{gathered}\,\text{AB} \div \,\text{CB} = \,\text{BD} \div \,\text{BA}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AB}^{2} = \,\text{BD} \times \,\text{BC}\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: كتابة نسبة بين ضلعين غير متناظرين؛ إثبات تشابه دون ذكر الحالة؛ تغيير ترتيب الرؤوس عند الانتقال إلى النسبة.

2-2-5 المثلث القائم الزاوية ونظريتا إقليدس

في المثلث القائم الزاوية إذا رُسم العمود من رأس القائمة على الوتر فإن المثلثات الثلاثة الناتجة متشابهة.

في △ABC القائم في A و AD ⊥ BC:

△ABC ~ △DBA ~ △DAC

ومنها:

\[\begin{gathered}\,\text{AB}^{2} = \,\text{BD} \times \,\text{BC}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AC}^{2} = \,\text{CD} \times \,\text{CB}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} = \,\text{BD} \times \,\text{DC}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AD} \times \,\text{BC} = \,\text{AB} \times \,\text{AC}\end{gathered}\]

• مربع طول ضلع القائمة = (طول مسقطه على الوتر) × (طول الوتر).
• مربع طول العمود = حاصل ضرب طولي جزأي الوتر.
• العمود × الوتر = حاصل ضرب ضلعي القائمة (مساحة المثلث بطريقتين).

علّل:

• لماذا \[\begin{gathered}\,\text{AB}^{2} = \,\text{BD} \times \,\text{BC}\end{gathered}\]؟
• لأن △DBA ~ △ABC (الزاوية B مشتركة وقائمة D و A) فتتناسب الأضلاع: \[\begin{gathered}\,\text{BD} \div \,\text{AB} = \,\text{AB} \div \,\text{BC}\end{gathered}\].

\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} = 4 \times 9 = 36\end{gathered}\] ومنه AD = 6

\[\begin{gathered}\,\text{BC} = 4 + 9 = 13\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AB}^{2} = \,\text{BD} \times \,\text{BC} = 4 \times 13 = 52\end{gathered}\] ومنه AB = 2√13

\[\begin{gathered}\,\text{AC}^{2} = \,\text{DC} \times \,\text{BC} = 9 \times 13 = 117\end{gathered}\] ومنه AC = 3√13

التحقق: \[\begin{gathered}52 + 117 = 169 = 13^{2}\end{gathered}\].

\[\begin{gathered}144 = 9 \times \,\text{DC}\end{gathered}\] ومنه DC = 16

\[\begin{gathered}\,\text{BC} = 9 + 16 = 25\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AB}^{2} = 9 \times 25 = 225\end{gathered}\] ومنه AB = 15

\[\begin{gathered}\,\text{AC}^{2} = 16 \times 25 = 400\end{gathered}\] ومنه AC = 20

\[\begin{gathered}\,\text{BC}^{2} = 81 + 144 = 225\end{gathered}\] ومنه BC = 15

\[\begin{gathered}\,\text{AD} \times \,\text{BC} = \,\text{AB} \times \,\text{AC}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AD} = 9 \times 12 \div 15 = 7.2\end{gathered}\]

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: وضع الوتر مكان ضلع القائمة؛
• استعمال \[\begin{gathered}\,\text{AB}^{2} = \,\text{BD} \times \,\text{DC}\end{gathered}\] (الصحيح \[\begin{gathered}\,\text{AB}^{2} = \,\text{BD} \times \,\text{BC}\end{gathered}\])؛
• نسيان أن الوتر هو مجموع الجزأين.

2-2-6 نظرية فيثاغورث وعكسها

في المثلث القائم الزاوية مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، وعكسها صحيح.

\[\begin{gathered}\,\text{BC}^{2} = \,\text{AB}^{2} + \,\text{AC}^{2}\end{gathered}\]

• البرهان من نظريتي إقليدس: \[\begin{gathered}\,\text{AB}^{2} + \,\text{AC}^{2} = \,\text{BD} \times \,\text{BC} + \,\text{CD} \times \,\text{BC} = (\,\text{BD} + \,\text{CD}) \times \,\text{BC} = \,\text{BC}^{2}\end{gathered}\].
• عكس النظرية: إذا كان مربع أكبر ضلع يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين فالمثلث قائم الزاوية مقابل الأكبر.
• إذا كان مربع الأكبر أكبر من المجموع فالمثلث منفرج الزاوية، وإذا كان أصغر فهو حاد الزوايا.

لاحظ: الثلاثيات الفيثاغورية الشهيرة: (3 ، 4 ، 5) و (5 ، 12 ، 13) و (8 ، 15 ، 17) و (7 ، 24 ، 25).

المجموع يساوي مربع الأكبر.

المثلث قائم الزاوية مقابل الضلع 25.

121 > 100

المثلث ليس قائمًا بل منفرج الزاوية.

h = 12 م

تذكر: الأخطاء الشائعة: جمع الأضلاع بدل جمع مربعاتها؛ اعتبار أحد الضلعين الصغيرين وترًا؛ تطبيق العكس دون ترتيب الأضلاع.

2-2-7 تطبيقات حياتية على تشابه المثلثات

نستعمل تشابه المثلثات لقياس أطوال يصعب قياسها مباشرة (ارتفاع مبنى، عرض نهر).

• الأشعة الضوئية متوازية فتتكون مثلثات متشابهة من الأجسام وظلالها.
• المرآة الأفقية تعكس الضوء بنفس زاوية السقوط فتتكون مثلثات متشابهة.
• نرسم نموذجًا هندسيًا للموقف ثم نحدد المثلثين المتشابهين.

لاحظ: القياس يكون في الوقت نفسه حتى تكون زاوية الشمس واحدة للجسمين.

المثلثان متشابهان.

\[\begin{gathered}h \div 8 = 1.8 \div 2.4\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}h = 8 \times 1.8 \div 2.4\end{gathered}\]

h = 6 م

المثلثان متشابهان (زاويتا السقوط والانعكاس متساويتان والزاويتان القائمتان).

الارتفاع ÷ \[\begin{gathered}10 = 1.6 \div 2\end{gathered}\]

الارتفاع = \[\begin{gathered}1.6 \times 10 \div 2 = 8\end{gathered}\] م

△ABC ~ △DEC (زاويتان قائمتان B و E والزاويتان عند C متقابلتان بالرأس)

\[\begin{gathered}\,\text{AB} \div \,\text{DE} = \,\text{BC} \div \,\text{EC}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AB} \div 8 = 20 \div 5\end{gathered}\]

AB = 32 م

تذكر: الأخطاء الشائعة: وضع المسافات المتناظرة بترتيب خاطئ؛ اختيار مثلثين غير متشابهين؛ عدم رسم نموذج واضح للمسألة.

2-3-1 نسبة المساحتين ونسبة التشابه

النسبة بين مساحتي سطحي مضلعين متشابهين تساوي مربع النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما.

مساحة الأول ÷ مساحة الثاني = k²

• k هي نسبة التشابه.
• المساحة قياس بُعدين، لذلك تتأثر بمربع نسبة الطول.
• نسبة محيطيهما k (من الدرجة الأولى).
• النسبة نفسها صحيحة للمثلثين المتشابهين: مربع نسبة الارتفاعين أو المتوسطين المتناظرين.

علّل: لماذا تربيع النسبة؟ مثلثان متشابهان نسبتهما k: قاعدتهما b و kb وارتفاعاهما h و kh، فمساحة الثاني ½·kb·kh = k²·(½bh).

تذكر: إذا ضوعفت أبعاد شكل مرتين تضاعفت مساحته 4 مرات، وإذا ضوعفت 3 مرات تضاعفت مساحته 9 مرات.

نسبة المساحتين = \[\begin{gathered}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} = \dfrac{4}{9}\end{gathered}\]

20 ÷ مساحة الأكبر = \(\dfrac{4}{9}\)

مساحة الأكبر = \[\begin{gathered}20 \times 9 \div 4 = 45\end{gathered}\] سم²

نسبة المساحتين = \(\dfrac{25}{64}\)

75 ÷ مساحة الثاني = \(\dfrac{25}{64}\)

مساحة الثاني = \[\begin{gathered}75 \times 64 \div 25 = 192\end{gathered}\] سم²

محيط الأصغر ÷ محيط الأكبر = \(\dfrac{7}{9}\)

محيط الأكبر = \[\begin{gathered}28 \times 9 \div 7 = 36\end{gathered}\] سم

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: استعمال النسبة k بدل k² للمساحات؛
• استعمال k² للمحيطات؛
• نسيان الجذر التربيعي عند الانتقال من المساحتين إلى نسبة التشابه.

2-3-2 مساحات المثلثات المتشابهة والارتفاعات

مثلثان متشابهان: نسبة مساحتيهما = مربع نسبة أي عنصرين متناظرين (ضلعان، ارتفاعان، متوسطان، منصفان، محيطان).

• يستخدم ذلك لإيجاد ارتفاع أو محيط من نسبة المساحتين.
• نأخذ الجذر التربيعي لنسبة المساحتين فنحصل على k.
• ثم نطبق k على الارتفاع أو الضلع أو المحيط.

لاحظ: إذا كان المثلثان لهما الارتفاع نفسه فإن نسبة المساحتين تساوي نسبة القاعدتين، وهذه حالة مختلفة عن التشابه.

\[\begin{gathered}h = \dfrac{6 \times 3}{2} = 9\end{gathered}\] سم

نسبة المساحتين = \(\dfrac{4}{9}\)

المساحة الثانية = \[\begin{gathered}\dfrac{40 \times 9}{4} = 90\end{gathered}\] سم²

تذكر: الأخطاء الشائعة: الخلط بين نسبة الارتفاعات ونسبة المساحات؛ استخدام الجذر على نسبة الأطوال.

2-3-3 المستقيم الموازي لأحد أضلاع المثلث والمساحة

إذا كان DE ∥ BC في △ABC فإن △ADE ~ △ABC ومساحة △ADE ÷ مساحة △\[\begin{gathered}\,\text{ABC} = (\,\text{AD} \div \,\text{AB})^{2}\end{gathered}\].

• المساحة المتبقية DBCE (شبه منحرف) = مساحة △ABC − مساحة △ADE.
• نسبة المساحتين مربع نسبة أي ضلعين متناظرين.

لاحظ: بعد قص المثلث الصغير من الأعلى يتبقى شبه منحرف، ونحصل على مساحته بالطرح.

نسبة المساحتين = \[\begin{gathered}\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2} = \dfrac{9}{25}\end{gathered}\]

مساحة △\[\begin{gathered}\,\text{ADE} = \dfrac{100 \times 9}{25} = 36\end{gathered}\] سم²

مساحة \[\begin{gathered}\,\text{DBCE} = 100 - 36 = 64\end{gathered}\] سم²

مساحة △\[\begin{gathered}\,\text{ABC} = 16 + 20 = 36\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}(\,\text{AD} \div \,\text{AB})^{2} = \dfrac{16}{36}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{AB} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]

مساحة △\[\begin{gathered}\,\text{ADE} = \dfrac{54 \times 4}{9} = 24\end{gathered}\]

مساحة \[\begin{gathered}\,\text{DBCE} = 54 - 24 = 30\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: استعمال AD ÷ DB بدل AD ÷ AB؛ نسيان طرح مساحة المثلث الصغير.

2-3-4 المساحات والتطبيقات العملية

في المسائل العملية نحدد نسبة التشابه ثم نربّعها للمساحات.

• المخطط والمقياس: مساحة الرسم = مساحة الحقيقة × (مقياس الرسم)².
• ثمن السجاد أو الدهان يتناسب مع المساحة.
• مثلثان لهما الارتفاع نفسه (أو القاعدة نفسها) نسبة مساحتيهما = نسبة القاعدتين (أو الارتفاعين).

تذكر: عند التطبيق العملي نكتب الوحدة: سم² أو م²، وتحويل الوحدات يتأثر بتربيع معامل التحويل.

نسبة الأطوال 1 : 100 فنسبة المساحات 1 : 10000.

المساحة الحقيقية = \[\begin{gathered}12 \times 10000 = 120000\end{gathered}\] سم²

= 12 م²

مساحة الأولى = 20 م²

نسبة المساحات = 1.5² = 2.25

مساحة الثانية = 45 م²

التكلفة = \[\begin{gathered}600 \times 2.25 = 1350\end{gathered}\] جنيه

للمثلثين الارتفاع نفسه (من A إلى BC).

نسبة المساحتين = نسبة القاعدتين = 4 ÷ 6

= 2 : 3

تذكر: الأخطاء الشائعة: حساب تكلفة الثانية بنسبة الأطوال؛ تحويل 1 م² إلى 100 سم² (الصحيح 10000 سم²).

2-4-1 الوتران المتقاطعان داخل الدائرة

إذا تقاطع وتران AB و CD في نقطة E داخل الدائرة فإن \[\begin{gathered}\,\text{AE} \times \,\text{EB} = \,\text{CE} \times \,\text{ED}\end{gathered}\].

\[\begin{gathered}\,\text{AE} \times \,\text{EB} = \,\text{CE} \times \,\text{ED}\end{gathered}\]

• البرهان: △AEC ~ △DEB لأن الزاويتين AEC و DEB متقابلتان بالرأس، وقياس A = قياس D (محيطيتان على القوس CB).
• من التشابه \[\begin{gathered}\,\text{AE} \div \,\text{DE} = \,\text{CE} \div \,\text{BE}\end{gathered}\] فنحصل على القاعدة.
• القطر العمودي على وتر ينصف هذا الوتر.

علّل: لماذا تكون النتيجة مستقلة عن موضع الوترين؟ لأن التشابه يعتمد على زوايا محيطية تقابل القوس نفسه، وتبقى متساوية مهما تحرك الوتران.

القطر العمودي على الوتر ينصفه: AE = EB.

\[\begin{gathered}\,\text{AE} \times \,\text{EB} = \,\text{CE} \times \,\text{ED}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AE}^{2} = 2 \times 8 = 16\end{gathered}\]

AE = 4

AB = 8 سم

تذكر: الأخطاء الشائعة: ضرب قطعتين من وترين مختلفين في الجهة الواحدة؛ نسيان أن القطع الأربع هي أجزاء الوترين.

2-4-2 القاطعان المرسومان من نقطة خارج الدائرة

إذا رُسم من نقطة M خارج الدائرة قاطعان يقطعانها في A و B وفي C و D فإن \[\begin{gathered}\,\text{MA} \times \,\text{MB} = \,\text{MC} \times \,\text{MD}\end{gathered}\].

\[\begin{gathered}\,\text{MA} \times \,\text{MB} = \,\text{MC} \times \,\text{MD}\end{gathered}\]

• A و C النقطتان الأقرب إلى M، و B و D النقطتان الأبعد.
• \[\begin{gathered}\,\text{MB} = \,\text{MA} + \,\text{AB}\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\,\text{MD} = \,\text{MC} + \,\text{CD}\end{gathered}\].
• البرهان: △MAD ~ △MCB لأن الزاوية M مشتركة، وقياس MAD = قياس MCB (زاويتان محيطيتان ترتكزان على القوس نفسه) فتتناسب الأضلاع: \[\begin{gathered}\,\text{MA} \div \,\text{MC} = \,\text{MD} \div \,\text{MB}\end{gathered}\].

لاحظ: في القاعدة نضرب القطعة الخارجية في القاطع كاملًا (من M إلى النقطة الأبعد).

x = 3 (نرفض x = −8 لأن الطول موجب)

تذكر: الأخطاء الشائعة: الضرب في AB بدل MB؛ ضرب القطعة الداخلية بالقطعة الخارجية؛ قبول جذر سالب لطول.

2-4-3 المماس والقاطع من نقطة خارج الدائرة

إذا رُسم من نقطة M خارج الدائرة مماس MT وقاطع يقطعها في A و B فإن \[\begin{gathered}(\,\text{MT})^{2} = \,\text{MA} \times \,\text{MB}\end{gathered}\].

\[\begin{gathered}(\,\text{MT})^{2} = \,\text{MA} \times \,\text{MB}\end{gathered}\]

• نتيجة لنظرية القاطعين حين ينطبق القاطع الثاني على المماس (C = D = T).
• المماسان المرسومان من نقطة خارج الدائرة متساويان في الطول.
• المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس، فنستعمل فيثاغورث أيضًا.

تذكر: إذا رُسم من M مماس MT فإن \[\begin{gathered}\,\text{MO}^{2} = \,\text{MT}^{2} + r^{2}\end{gathered}\] حيث O المركز و r نصف القطر.

OT ⊥ MT.

\[\begin{gathered}r^{2} = 13^{2} - 12^{2} = 169 - 144 = 25\end{gathered}\]

r = 5 سم

القاطع المار بالمركز: \[\begin{gathered}\,\text{MA} = 13 - 5 = 8\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\,\text{MB} = 13 + 5 = 18\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{MA} \times \,\text{MB} = 8 \times 18 = 144 = 12^{2} = \,\text{MT}^{2}\end{gathered}\]

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: اعتبار \[\begin{gathered}\,\text{MT} \times \,\text{MT} = \,\text{MA} \times \,\text{AB}\end{gathered}\] (الصحيح MA × MB)؛
• نسيان إضافة القطعتين لتكوين MB.

2-4-4 عكس النظريات: أربع نقاط على دائرة والمماس

• عكس نظرية الوترين: إذا تقاطعت القطعتان المستقيمتان AB و CD في E داخلهما وكان \[\begin{gathered}\,\text{AE} \times \,\text{EB} = \,\text{CE} \times \,\text{ED}\end{gathered}\] فإن النقط A و B و C و D تقع على دائرة واحدة.
• وعكس المماس: إذا كان \[\begin{gathered}(\,\text{MT})^{2} = \,\text{MA} \times \,\text{MB}\end{gathered}\] فإن MT مماس للدائرة المارة بالنقط T و A و B.

• نحسب حاصلي الضرب ونقارنهما: إذا تساويا فالنقط متحدة الدائرة.
• في الحالة الخارجية: M على امتداد القطعتين AB و CD وكان \[\begin{gathered}\,\text{MA} \times \,\text{MB} = \,\text{MC} \times \,\text{MD}\end{gathered}\] فالنقط تقع على دائرة.
• إذا كان \[\begin{gathered}\,\text{MT}^{2} = \,\text{MA} \times \,\text{MB}\end{gathered}\] فإن MT يمس الدائرة المارة بـ T و A و B.

لاحظ: في الإثبات نستخدم التشابه بالـ SAS، فنثبت أن △MTA ~ △MBT فتتساوى الزاويتان فيصبح MT مماسًا بنظرية المماس والوتر.

الحاصلان متساويان.

النقط الأربع تقع على دائرة واحدة (رباعي دائري).

الحاصلان غير متساويين.

النقط لا تقع على دائرة واحدة.

شرط المماسية: \[\begin{gathered}\,\text{DA}^{2} = \,\text{DC} \times \,\text{DB}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{DA}^{2} = 4 \times 9 = 36\end{gathered}\]

DA = 6

إذا كان DA = 6 فإن DA مماس للدائرة المارة بالنقط A و B و C.

تذكر: الأخطاء الشائعة: افتراض أن النقط على دائرة دون اختبار؛ استخدام العكس بدون التأكد من موضع نقطة التقاطع بين القطعتين.

2-4-5 تطبيقات ومسائل متنوعة

نجمع بين نظريات الدائرة والتشابه وفيثاغورث لحل مسائل الأطوال.

• نرسم الشكل ونكتب معطيات القطع على الشكل.
• نحدد أي نظرية تناسب الشكل (وتران، قاطعان، مماس وقاطع).
• قد نحتاج إلى نصف القطر أو العمود من المركز على الوتر.

لاحظ: القوس (قنطرة) أو النفق على شكل جزء من دائرة يعتمد حله على قاعدة الوترين المتقاطعين.

المسافة من المركز إلى الوتر d: \[\begin{gathered}d^{2} = 10^{2} - 8^{2} = 36\end{gathered}\] ومنه d = 6

جزآ القطر: \[\begin{gathered}\,\text{CE} = 10 - 6 = 4\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\,\text{ED} = 10 + 6 = 16\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{CE} \times \,\text{ED} = 64 = \,\text{AE} \times \,\text{EB}\end{gathered}\]

نصف الوتر = 12 م.

وتران متقاطعان: الوتر AB والقطر العمودي عليه.

\[\begin{gathered}12 \times 12 = 6 \times (2r - 6)\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}144 = 12r - 36\end{gathered}\]

12r = 180

r = 15 م

\[\begin{gathered}\,\text{CD} = 2 \times 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6} \approx 9.8\end{gathered}\] سم

تذكر: الأخطاء الشائعة: نسيان أن القطر = 2r عند حساب القطعة الثانية من القطر؛ خلط جزء من الوتر مع القطر.