01 الدرس 3-1: المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة
3-1-1 نظرية: المستقيم الموازي لأحد أضلاع المثلث
إذا رُسم مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث ويقطع الضلعين الآخرين فإنه يقسمهما إلى قطع أطوالها متناسبة.
في △ABC إذا كان D على AB و E على AC و DE ∥ BC فإن:
\[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = \,\text{AE} \div \,\text{EC}\end{gathered}\]
- يمكن كتابة نسب أخرى: \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{AB} = \,\text{AE} \div \,\text{AC} = \,\text{DE} \div \,\text{BC}\end{gathered}\].
- البرهان: △ADE ~ △ABC لأن A مشتركة وقياس ADE = قياس ABC (متناظرتان).
- من التشابه \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{AB} = \,\text{AE} \div \,\text{AC}\end{gathered}\]، ومنه بالتجزئة \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = \,\text{AE} \div \,\text{EC}\end{gathered}\].
- القطع المتناسبة هي أجزاء الضلعين على جانبي المستقيم الموازي.
لاحظ: نكتب القطعة العليا ÷ القطعة السفلى في الطرفين، فلا نخلط بين AD و AB في النسبة نفسها.
علّل:
- لماذا تؤدي النسبة \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{AB} = \,\text{AE} \div \,\text{AC}\end{gathered}\] إلى \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = \,\text{AE} \div \,\text{EC}\end{gathered}\]؟
- نقلب النسبتين فنحصل على \[\begin{gathered}\,\text{AB} \div \,\text{AD} = \,\text{AC} \div \,\text{AE}\end{gathered}\]، ثم نطرح 1 من الطرفين فيكون \[\begin{gathered}(\,\text{AB} - \,\text{AD}) \div \,\text{AD} = (\,\text{AC} - \,\text{AE}) \div \,\text{AE}\end{gathered}\] أي \[\begin{gathered}\,\text{DB} \div \,\text{AD} = \,\text{EC} \div \,\text{AE}\end{gathered}\]، ثم نقلب مرة أخرى.
مثال 1: في △ABC النقطة D على AB والنقطة E على AC و DE ∥ BC. إذا كان AD = 3 و DB = 5 و AE = 6 فأوجد EC.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = \,\text{AE} \div \,\text{EC}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}3 \div 5 = 6 \div \,\text{EC}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{EC} = 6 \times 5 \div 3 = 10\end{gathered}\]
مثال 2: في △ABC النقطة D على AB والنقطة E على AC و DE ∥ BC. إذا كان AD = 6 و AB = 15 و AC = 20 فأوجد AE و EC.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{AB} = \,\text{AE} \div \,\text{AC}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}6 \div 15 = \,\text{AE} \div 20\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AE} = \dfrac{20 \times 2}{5} = 8\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{EC} = 20 - 8 = 12\end{gathered}\]
مثال 3: في △ABC النقطة D على AB والنقطة E على AC و DE ∥ BC. إذا كان AD = x و DB = x + 2 و AE = 3 و EC = 5 فأوجد x و AB.
الحل:
\[\begin{gathered}x \div (x + 2) = 3 \div 5\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}5x = 3(x + 2)\end{gathered}\]
5x = 3x + 6
x = 3
\[\begin{gathered}\,\text{AB} = x + (x + 2) = 8\end{gathered}\]
مثال 4: في △ABC و DE ∥ BC حيث AD = 2x − 1 و DB = 6 و AE = x و EC = 4. أوجد x.
الحل:
\[\begin{gathered}(2x - 1) \div 6 = x \div 4\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}4(2x - 1) = 6x\end{gathered}\]
8x − 4 = 6x
2x = 4
x = 2
التحقق: AD = 3 و AE = 2 ثم \[\begin{gathered}3 \div 6 = 2 \div 4 = \dfrac{1}{2}\end{gathered}\].
تذكر:
- الأخطاء الشائعة: كتابة \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = \,\text{EC} \div \,\text{AE}\end{gathered}\] (بالمقلوب)؛
- استعمال AD في نسبة وAB في الأخرى؛
- نسيان أن DE ∥ BC شرط للنظرية.
3-1-2 عكس النظرية
إذا قسم مستقيم ضلعين في مثلث إلى قطع أطوالها متناسبة فهو يوازي الضلع الثالث.
إذا كان \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = \,\text{AE} \div \,\text{EC}\end{gathered}\] فإن DE ∥ BC.
- نحسب النسبتين AD ÷ DB و AE ÷ EC ونقارن بينهما.
- إذا تساوتا فالمستقيم DE يوازي BC، وإلا فلا يوازيه.
- يلزم أن تقع D على AB و E على AC من جهة الرأس A نفسها (القطع الأصلية، لا الامتدادات).
لاحظ: عكس النظرية يُستعمل لإثبات التوازي بالحسابات من دون استعمال الزوايا.
مثال 1: في △ABC النقطة D على AB والنقطة E على AC، AD = 4 و DB = 6 و AE = 6 و EC = 9. هل DE ∥ BC؟
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = 4 \div 6 = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AE} \div \,\text{EC} = 6 \div 9 = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
النسبتان متساويتان.
DE ∥ BC
مثال 2: في △ABC النقطة D على AB والنقطة E على AC، AD = 3 و DB = 5 و AE = 4 و EC = 7. هل DE ∥ BC؟
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = \dfrac{3}{5} = 0.6\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AE} \div \,\text{EC} = \dfrac{4}{7} \approx 0.571\end{gathered}\]
النسبتان غير متساويتين.
DE ليس موازيًا لـ BC.
مثال 3: أوجد قيمة x التي تجعل DE ∥ BC إذا كان AD = 6 و DB = 9 و AE = x و EC = x + 3.
الحل:
\[\begin{gathered}6 \div 9 = x \div (x + 3)\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}6(x + 3) = 9x\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}6x + 18 = 9x\end{gathered}\]
3x = 18
x = 6
AE = 6 و EC = 9.
مثال 4: △ABC فيه AB = 20 و AC = 25، والنقطة D على AB حيث AD = 8 والنقطة E على AC حيث AE = 10. أثبت أن DE ∥ BC.
الحل:
DB = 12 و EC = 15
\[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = 8 \div 12 = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AE} \div \,\text{EC} = 10 \div 15 = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
النسبتان متساويتان فيكون DE ∥ BC.
تذكر: الأخطاء الشائعة: مقارنة AD ÷ DB مع EC ÷ AE؛ نسيان حساب DB و EC من الطول الكلي؛ الحكم بالتوازي لأن العددين متقاربان.
3-1-3 نتائج: قطعة المنتصفين
القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث وطولها يساوي نصف طوله.
إذا كانت D منتصف AB و E منتصف AC فإن:
DE ∥ BC
DE = ½ BC
- النتيجة الأولى: \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{DB} = 1 = \,\text{AE} \div \,\text{EC}\end{gathered}\] فبالعكس DE ∥ BC.
- النتيجة الثانية: المستقيم المار بمنتصف ضلع ويوازي ضلعًا آخر ينصف الضلع الثالث.
- المثلث الواصل بين منتصفات الأضلاع الثلاثة محيطه نصف محيط المثلث الأصلي.
- في الشكل الرباعي: القطع الواصلة بين منتصفات الأضلاع تكوّن متوازي أضلاع.
تذكر: DE = ½ BC لا تعني DE = BC ÷ 2 فقط، بل أيضًا DE ∥ BC.
مثال 1: D و E منتصفا AB و AC في △ABC، و BC = 14. أوجد DE.
الحل:
DE = ½ × 14 = 7
DE ∥ BC
مثال 2: أطوال أضلاع △ABC هي 10 و 14 و 16. أوجد محيط المثلث الواصل بين منتصفات أضلاعه.
الحل:
محيط △ABC = 40
كل ضلع في المثلث الجديد نصف الضلع المقابل له.
المحيط الجديد = 40 ÷ 2 = 20
مثال 3: D منتصف AB في △ABC، رُسم DE ∥ BC ويقطع AC في E. إذا كان AC = 18 فأوجد AE و EC.
الحل:
AD ÷ DB = 1 فإن AE ÷ EC = 1
E منتصف AC
AE = EC = 9
مثال 4: الشكل الرباعي ABCD قطراه AC = 10 و BD = 14، و P و Q و R و S منتصفات AB و BC و CD و DA على الترتيب. أوجد محيط PQRS.
الحل:
في △ABC: PQ = ½ AC = 5 و PQ ∥ AC
في △BCD: QR = ½ BD = 7
بالمثل SR = 5 و PS = 7
PQRS متوازي أضلاع.
المحيط = \[\begin{gathered}5 + 7 + 5 + 7 = 24\end{gathered}\]
تذكر: الأخطاء الشائعة: ضرب الطول في 2 بدل القسمة؛ نسيان أن النتيجة تشترط أن تكون النقطتان منتصفين؛ الخلط بين محيط المثلث الأصلي والجديد.
3-1-4 نظرية تاليس العامة
إذا قطع مستقيمان عدة مستقيمات متوازية فإن أطوال القطع الناتجة على أحد القاطعين تكون متناسبة مع أطوال القطع المناظرة لها على القاطع الآخر.
إذا كانت l₁ ∥ l₂ ∥ l₃ تقطع القاطع الأول في A و B و C والثاني في D و E و F فإن:
\[\begin{gathered}\,\text{AB} \div \,\text{BC} = \,\text{DE} \div \,\text{EF}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AB} \div \,\text{DE} = \,\text{BC} \div \,\text{EF} = \,\text{AC} \div \,\text{DF}\end{gathered}\]
- إذا كانت القطع على قاطع واحد متساوية، فالقطع على أي قاطع آخر متساوية أيضًا.
- يمكن بهذه النظرية تقسيم قطعة مستقيمة إلى أجزاء متساوية أو بنسبة معلومة.
- البرهان: نرسم قاطعًا موازيًا ونطبق نظرية المستقيم الموازي في المثلثات الناتجة.
لاحظ: تنطبق نظرية تاليس مهما كان القاطعان متوازيين أو متقاطعين.
مثال 1: ثلاثة مستقيمات متوازية تقطع قاطعًا في A و B و C وقاطعًا آخر في D و E و F. إذا كان AB = 4 و BC = 6 و DE = 10 فأوجد EF.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AB} \div \,\text{BC} = \,\text{DE} \div \,\text{EF}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}4 \div 6 = 10 \div \,\text{EF}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{EF} = 10 \times 6 \div 4 = 15\end{gathered}\]
مثال 2: المستقيمات المتوازية نفسها، AB = 6 و BC = 9 و DF = 25. أوجد DE و EF.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AB} \div \,\text{BC} = 6 \div 9 = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
DE : EF = 2 : 3
\[\begin{gathered}\,\text{DE} = \dfrac{25 \times 2}{5} = 10\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{EF} = \dfrac{25 \times 3}{5} = 15\end{gathered}\]
مثال 3: ثلاثة مستقيمات متوازية تقطع قاطعًا في A و B و C بحيث AB = BC. إذا كان DE = 7 على القاطع الآخر فأوجد EF.
الحل:
AB ÷ BC = 1
DE ÷ EF = 1
EF = DE = 7
مثال 4: قسّم قطعة مستقيمة AB طولها 12 سم إلى ثلاثة أجزاء متساوية، واذكر طول كل جزء ونسبة تقسيمها 5 : 7 بنقطة X.
الحل:
نرسم من A شعاعًا ونأخذ عليه ثلاث قطع متساوية متتالية.
نصل آخر نقطة بالنقطة B ونرسم من النقطتين الأخريين موازيين لهذا المستقيم.
كل جزء = 12 ÷ 3 = 4 سم
بالنسبة 5 : 7: \[\begin{gathered}\,\text{AX} = \dfrac{12 \times 5}{12} = 5\end{gathered}\] و XB = 7
تذكر:
- الأخطاء الشائعة: مقارنة قطعة من قاطع بالقطعة غير المناظرة في الآخر؛
- نسيان أن المستقيمات يجب أن تكون متوازية؛
- الخلط بين نسبة القطعة إلى القاطع كله ونسبتها إلى القطعة الأخرى.
3-1-5 تطبيقات على شبه المنحرف
في شبه المنحرف ABCD الذي فيه AB ∥ CD: المستقيم الموازي للقاعدتين يقسم الساقين بنسبة واحدة.
- إذا كان XY ∥ AB (و XY ∥ CD) و X على AD و Y على BC فإن \[\begin{gathered}\,\text{AX} \div \,\text{XD} = \,\text{BY} \div \,\text{YC}\end{gathered}\].
- القطعة الواصلة بين منتصفي الساقين توازي القاعدتين وطولها نصف مجموع طولي القاعدتين.
- المستقيم المار بنقطة تقاطع القطرين M والموازي للقاعدتين ينصفه M.
- طول هذا المستقيم بين الساقين = 2ab ÷ (a + b) حيث a و b طولا القاعدتين.
لاحظ: كثير من مسائل شبه المنحرف نحلها برسم قطر أو مستقيم يشكل مثلثين ثم نطبق نظرية الموازي.
مثال 1: في شبه المنحرف ABCD حيث AB ∥ CD رُسم XY ∥ AB حيث X على AD و Y على BC. إذا كان AX = 3 و XD = 2 و BC = 10 فأوجد BY و YC.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AX} \div \,\text{XD} = \,\text{BY} \div \,\text{YC} = \dfrac{3}{2}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{BY} + \,\text{YC} = 10\end{gathered}\]
BY = 6 و YC = 4
- مثال 2: في شبه المنحرف ABCD حيث AB ∥ CD و AB = 12 و CD = 6 يتقاطع القطران في M، ورُسم من M مستقيم يوازي القاعدتين ويقطع AD في X و BC في Y.
- أوجد XM و XY.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{MA} \div \,\text{MC} = \,\text{AB} \div \,\text{CD} = 12 \div 6 = 2\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AM} \div \,\text{AC} = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
في △ADC: XM ∥ DC فإن \[\begin{gathered}\,\text{XM} = \,\text{CD} \times \,\text{AM} \div \,\text{AC} = \dfrac{6 \times 2}{3} = 4\end{gathered}\]
بالمثل MY = 4
XY = 8
للتحقق: \[\begin{gathered}2\,\text{ab} \div (a + b) = 2 \times 12 \times 6 \div 18 = 8\end{gathered}\].
مثال 3: شبه منحرف قاعدتاه 12 و 8، أوجد طول القطعة الواصلة بين منتصفي ساقيه.
الحل:
الطول = ½ \[\begin{gathered}(12 + 8) = 10\end{gathered}\]
مثال 4: في △ABC النقطة D على AB حيث AD : DB = 2 : 3 ورُسم DE ∥ BC ويقطع AC في E، ثم رُسم EF ∥ AB ويقطع BC في F. أوجد BF : FC.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AE} \div \,\text{EC} = \,\text{AD} \div \,\text{DB} = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
في △CAB حيث EF ∥ AB: \[\begin{gathered}\,\text{CF} \div \,\text{FB} = \,\text{CE} \div \,\text{EA} = \dfrac{3}{2}\end{gathered}\]
BF : FC = 2 : 3
تذكر:
- الأخطاء الشائعة: جمع القاعدتين دون قسمة على 2 في القطعة الواصلة بين المنتصفين؛
- الخلط بين الساقين والقاعدتين؛
- نسيان أن المستقيم الموازي يجب أن يوازي القاعدتين.