الدرس الثاني: الضغط عند نقطة في باطن سائل وقياسه

2-1 مشاهدات

إذا دفعت قطعة من الفلين تحت سطح الماء ثم تركتها فستجد أنها ترتفع إلى السطح مرة ثانية، وهذا يوضح أن الماء يدفع قطعة الفلين المغمورة بقوة إلى أعلى، وهذه القوة تنشأ عن فرق ضغط الماء على جانبي القطعة.

والمشاهدات والتجارب تبين أن:

• عند أي نقطة في باطن السائل يمكن أن يؤثر الضغط في أي اتجاه.
• واتجاه القوة الناشئة عن الضغط على أي سطح يكون عموديًا على هذا السطح، سواء كان السطح جدار الإناء أو سطح جسم مغمور.
• كلما زاد عمق السائل زاد الضغط.

• وكيف نفسر ذلك؟
• إذا تصورنا حجمًا من السائل في موضع معين فهو في حالة اتزان، يؤثر عليه وزنه لأسفل وتؤثر عليه قوة ناشئة عن ضغط السائل المحيط به.
• ولو لم يوضع جسم مكان هذا الحجم من السائل لظل في اتزان؛
• فالقوة الناتجة عن الضغط تتزن مع الوزن.

2-2 استنتاج العلاقة \[\begin{gathered}P = P_{a} + \rho g h\end{gathered}\]

لحساب الضغط نفترض وجود لوح أفقي (X) مساحته A (m²) على عمق h (m) تحت سطح سائل كثافته \(\rho \left(\dfrac{\,\text{kg}}{m^{3}}\right)\)، ويعمل هذا اللوح كقاعدة لعمود من السائل ارتفاعه h ومساحة مقطعه A.

الخطوة 1: القوة التي يؤثر بها عمود السائل على اللوح تساوي وزن عمود السائل (لأن السائل غير قابل للانضغاط).

الخطوة 2: حجم عمود السائل = A h ، وكتلته m = ρ A h ، ووزنه:

\[\begin{gathered}F = m g = \rho A h g\end{gathered}\]

الخطوة 3: يتعين ضغط السائل P على اللوح من العلاقة:

\[\begin{gathered}P = \dfrac{F}{A} = \dfrac{\rho A h g}{A} =\;\color{#15803d}{\mathbf{\rho g h}}\end{gathered}\]

• وهذا هو الضغط الناشئ عن عمود السائل وحده.
• أما إذا أخذنا في الاعتبار أن سطح السائل الخارجي معرض للهواء الجوي الذي ضغطه Pₐ فإن الضغط الكلي عند نقطة في باطن السائل على عمق h يتعين من العلاقة:

\[\begin{gathered}P = P_{a} + \rho g h\end{gathered}\]

وتوضح هذه العلاقة أن ضغط السائل عند نقطة في باطنه:

• يزداد بزيادة عمق النقطة (h) تحت سطح السائل.
• يزداد بزيادة كثافة السائل (ρ) عند نفس العمق.
• لا يتوقف على مساحة قاعدة الإناء ولا على شكله ولا على كمية السائل الكلية؛ فهو يتوقف على العمق والكثافة وعجلة الجاذبية والضغط الجوي فقط.

2-3 نتائج مهمة

1) جميع النقط التي تقع في مستوى أفقي واحد في باطن السائل الساكن لها نفس الضغط. لأن ρ و h و Pₐ متساوية لها جميعًا.

• 2) الأواني المستطرقة (Connecting Vessels): السائل الذي يملأ إناءً متعدد الأجزاء يرتفع في هذه الأجزاء بنفس المقدار بغض النظر عن أشكالها الهندسية، بشرط أن تكون قاعدة الإناء في مستوى أفقي.
• ولهذا فإن مستوى سطح البحر واحد لكل البحار المتصلة ببعضها، ويعتمد على هذه الخاصية استخدام ميزان البناء (الميزان المائي).

3) السدود: يصمَّم جسم السد بحيث يزداد سُمك السد عند قاعدته ليتحمل الضغط المتزايد مع زيادة العمق.

• 4) الغواص: يلبس الغواص بدلة غطس وخوذة تحميه من الضغط الكبير في الأعماق.
• وفي الأعماق القليلة يلجأ إلى نفخ الهواء في جيوبه الأنفية لمعادلة الضغط الخارجي، وفي الأعماق الكبيرة (مئات الأمتار) تُنفخ بدلة الغطس بالهواء وتحمي الخوذة رأس الغواص من الضغط الشديد.

2-4 أمثلة محلولة

(الضغط الجوي \[\begin{gathered}P_{a} = 1.013 \times 10^{5} \,\text{Pa}\end{gathered}\] ، \(g = 10 m/s^{2}\))

2-5 اتزان سائلين لا يمتزجان في أنبوبة ذات شعبتين

• نأخذ أنبوبة على شكل حرف U (ذات شعبتين) تحتوي على كمية مناسبة من الماء، ثم نضيف إلى أحد فرعيها (الأيسر مثلًا) كمية من الزيت حتى يصل سطح الزيت إلى مستوى معين.
• الماء والزيت لا يمتزجان، ويكون بينهما سطح فاصل A.
• نفرض النقطة B في الفرع الآخر في المستوى الأفقي نفسه للسطح الفاصل A (داخل الماء).

• ارتفاع الزيت فوق السطح الفاصل: h₁ وكثافته ρ₁
• ارتفاع الماء في الفرع الآخر فوق نفس المستوى: h₂ وكثافته ρ₂

النقطتان A و B تقعان في مستوى أفقي واحد داخل الماء المتصل، فضغطهما متساو:

\[\begin{gathered}P_{a} + \rho _{1} g h_{1} = P_{a} + \rho _{2} g h_{2}\end{gathered}\]

ومنها:

\[\begin{gathered}\rho _{1} h_{1} = \rho _{2} h_{2}\end{gathered}\]

ومن هذه العلاقة يمكن تعيين الكثافة النسبية للزيت عمليًا بقياس h₁ و h₂ فقط:

الكثافة النسبية للزيت = \(\dfrac{\rho _{1}}{\rho}\)ماء = \(\dfrac{h_{2}}{h_{1}}\)

ومنها يمكن حساب كثافة الزيت: \[\begin{gathered}\rho _{1} = \dfrac{\rho _{2} h_{2}}{h_{1}}\end{gathered}\].

• مثال 1: صُب زيت في أحد فرعي أنبوبة U بها ماء فارتفع عمود الزيت 25 cm فوق السطح الفاصل.
• احسب ارتفاع الماء فوق السطح الفاصل في الفرع الآخر (كثافة الزيت \(800 \,\text{kg}/m^{3}\)).

الحل: \[\begin{gathered}h_{2} = \dfrac{\rho _{1} h_{1}}{\rho _{2}} = \dfrac{800 \times 25}{1000} =\;\color{#15803d}{\mathbf{20 \,\text{cm}}}\end{gathered}\].

• مثال 2 (تعيين كثافة نسبية): في تجربة لتعيين الكثافة النسبية لزيت وُجد أن ارتفاع الزيت فوق السطح الفاصل 22.5 cm وارتفاع الماء فوق المستوى نفسه 18 cm.
• احسب كثافة الزيت وكثافته النسبية.

الحل: الكثافة النسبية = \[\begin{gathered}\dfrac{h_{2}}{h_{1}} = \dfrac{18}{22.5} =\;\color{#15803d}{\mathbf{0.8}}\end{gathered}\] ، \[\begin{gathered}\rho = 0.8 \times 1000 =\;\color{#15803d}{\mathbf{800 \,\text{kg}/m^{3}}}\end{gathered}\].

• مثال 3: أنبوبة U بها ماء، سُكب في أحد فرعيها زئبق (كثافته \(13600 \,\text{kg}/m^{3}\)) حتى كان ارتفاعه فوق السطح الفاصل 2 cm.
• احسب ارتفاع الماء في الفرع الثاني فوق المستوى نفسه.

• الحل: \[\begin{gathered}\rho _{1} h_{1} = \rho _{2} h_{2} \\[4pt] \therefore\; h_{2} = \dfrac{13600 \times 2}{1000} =\;\color{#15803d}{\mathbf{27.2 \,\text{cm}}}\end{gathered}\].
• (لأن الزئبق أكثف 13.6 مرة).