8) اتزان جسم على مستوى مائل خشن

القوى المؤثرة

• نعتبر جسمًا متزنًا على مستوى خشن يميل على الأفقي بزاوية قياسها $\theta$. يتزن الجسم تحت تأثير قوتين:
• قوة وزنه $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">W</span>}$ وتعمل رأسيًّا لأسفل.
• قوة رد الفعل المحصل ${\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">R</span>}}^{\mathrm{\prime }}$ لا بد أن تعمل رأسيًّا لأعلى ويكون ${\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">R</span>}}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">W</span>}$.
• بتحليل رد الفعل المحصل في اتجاهين أحدهما يوازي المستوى والآخر عمودي عليه نحصل على:

$$\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">F</span>}=\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">W</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">sin</span>}\theta ,\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">R</span>}=\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">W</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">cos</span>}\theta$$

• قوة الاحتكاك $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">F</span>}$ توازي خط أكبر ميل وتعمل عكس اتجاه الحركة المحتملة، أي تكون موجهة لأعلى المستوى.
• قوة رد الفعل العمودي $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">R</span>}$ تعمل عموديًّا على المستوى.

العلاقة بين زاوية الاحتكاك وزاوية ميل المستوى

• إذا وُضع جسم على مستوى مائل خشن وكان على وشك الانزلاق فإن قياس زاوية الاحتكاك السكوني يساوي قياس زاوية ميل المستوى على الأفقي.
• البرهان: الاحتكاك نهائي فرد الفعل المحصل يصنع مع العمودي على المستوى زاوية هي زاوية الاحتكاك $\lambda$، ومن الشكل نجد أن $\theta =\lambda$.
• بدلالة معامل الاحتكاك:

$$\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">tan</span>}\lambda ={\mu }_{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">s</span>}}\text{أو}{\mu }_{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">s</span>}}=\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">tan</span>}\theta$$

حالات الجسم على المستوى المائل الخشن

• إذا كانت $\theta \&<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">lt</span>;\lambda$ فالجسم يظل ساكنًا ولا يكون على وشك الانزلاق.
• إذا كانت $\theta =\lambda$ فالجسم على وشك الانزلاق تحت تأثير وزنه فقط.
• إذا كانت $\theta \&<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">gt</span>;\lambda$ فالجسم ينزلق إلى أسفل ما لم تؤثر عليه قوة تمنعه.

ملخص اتزان الجسم على سطح خشن

• نحدد القوى: الوزن، رد الفعل العمودي، الاحتكاك، القوة المؤثرة.
• نحلل القوى إلى مركبتين: واحدة موازية للمستوى وأخرى عمودية عليه.
• نساوي مجموع المركبات في كل اتجاه بصفر.
• عند وشك الحركة نضيف الشرط $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">F</span>}={\mu }_{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">s</span>}}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">R</span>}$.