1-4 المعدلات الزمنية المرتبطة: المفهوم

فكرة المعدل

• المعدل هو سرعة تغير كمية بالنسبة للزمن، ويُعبر عنه بالمشتقة بالنسبة للزمن ${\displaystyle \frac{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">d</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}}{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">d</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">t</span>}}}$.
• عندما يتغير متغيران أو أكثر مع الزمن وترتبط بينهما علاقة، فإن معدلات تغيرها مرتبطة.
• مثال: أسطوانة أو كرة يتغير نصف قطرها $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">r</span>}$ مع الزمن، فتتغير مساحتها $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">A</span>}=\pi {\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">r</span>}}^{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">2</span>}}$ تبعًا لذلك.
• باشتقاق العلاقة بين المتغيرين بالنسبة للزمن نحصل على معادلة تربط معدلات تغيرهما، وتسمى معادلة المعدلات الزمنية المرتبطة:

$$\frac{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">d</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">A</span>}}{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">d</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">t</span>}}=\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">2</span>}\pi \mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">r</span>}\frac{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">d</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">r</span>}}{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">d</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">t</span>}}$$

إشارة المعدل

• يكون المعدل موجبًا إذا كان المتغير يتزايد مع الزمن (تمدد، ابتعاد، تسرب إلى الداخل).
• يكون المعدل سالبًا إذا كان المتغير يتناقص مع الزمن (انكماش، اقتراب، تسرب للخارج).

خطوات الحل

• نحدد المتغيرات التي تتغير مع الزمن ونسمي كلًّا منها برمز.
• نرسم شكلًا تخطيطيًّا للمسألة إن أمكن.
• نكوّن علاقة بين المتغيرات (فيثاغورس، تشابه المثلثات، قوانين المساحة والحجم، نسب مثلثية...).
• نشتق طرفي العلاقة بالنسبة للزمن $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">t</span>}$.
• نعوض بالقيم المعطاة في اللحظة المطلوبة للحصول على المعدل المجهول.
• إذا كان معدل تغير متغير $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}$ ثابتًا فإن $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}={\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}}_{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">0</span>}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">d</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}}{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">d</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">t</span>}}}\times \mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">t</span>}$ حيث ${\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}}_{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">0</span>}}$ قيمته الابتدائية.
• نعوض بالقيم العددية بعد الاشتقاق لا قبله، لأن القيم المتغيرة لا تُعوَّض إلا في لحظة محددة.