الدرس الثاني: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة

في الاشتقاق الضمني، نشتق طرفي المعادلة بالنسبة لـ x مع تذكر أن مشتقة y هي dy/dx ومشتفة y² هي 2y(dy/dx). ثم نجمع الحدود التي تحوي dy/dx في طرف ونفصلها كعامل مشترك.

أما في الاشتقاق البارامتري، إذا كان x = f(t) و y = g(t)، فإن:

\[ rac{dy}{dx} = rac{rac{dy}{dt}}{rac{dx}{dt}} \quad (rac{dx}{dt} eq 0) \]

والمشتقة الثانية البارامترية تحسب من القاعدة الجوهرية:

\[ rac{d^2 y}{dx^2} = rac{d}{dt}\left( rac{dy}{dx} ight) \cdot rac{dt}{dx} \]

خطوات حل مسألة المعدلات الزمنية المرتبطة:

1. رسم مخطط تخطيطي للمسألة وتحديد المتغيرات التي تتغير مع الزمن (x, y, θ, V, S).
2. تكوين علاقة هندسية أساسية تربط المتغيرات (نظرية فيثاغورس، قانون جيب التمام، تشابه المثلثات، أو قوانين الحجوم والمساحات).
3. اشتقاق طرفي العلاقة بالنسبة للزمن t.
4. التعويض بالقيم والسرعات اللحظية المعلومة لإيجاد المعدل المطلوب.