15 أمثلة ومسائل وتطبيقات محلولة بالخطوات النموذجية والبرهان العلمي:
★ مسألة إحصائية حياتية وحلها بأشكال فن وقانون الاتحاد
المعطيات والتفاعل والمطلوب: في فصل دراسي مكون من 40 طالباً، وجد أن 25 طالباً يحبون مادة الرياضيات، و 20 طالباً يحبون مادة العلوم، و 12 طالباً يحبون المادتين معاً. احسب: (1) عدد الطلاب الذين يحبون الرياضيات فقط، (2) عدد الطلاب الذين يحبون مادة واحدة على الأقل، (3) عدد الطلاب الذين لا يحبون أي من المادتين.
خطوات الحل والبرهان الكيميائي:
[1] نفرض أن مجموعة محبي الرياضيات هي M، ومجموعة محبي العلوم هي S، والمجموعة الشاملة للفصل هي U.
[2] المعطيات: n(U) = 40، n(M) = 25، n(S) = 20، والتقاطع المشترك n(M ∩ S) = 12.
[3] أولاً: عدد الطلاب الذين يحبون الرياضيات فقط: n(M - S) = n(M) - n(M ∩ S) = 25 - 12 = 13 طالباً.
[4] ثانياً: عدد الطلاب الذين يحبون مادة واحدة على الأقل (أي الاتحاد M ∪ S):
[5] نطبق قانون الاتحاد: n(M ∪ S) = n(M) + n(S) - n(M ∩ S) = 25 + 20 - 12 = 45 - 12 = 33 طالباً.
[6] ثالثاً: عدد الطلاب الذين يحبون العلوم فقط: n(S - M) = 20 - 12 = 8 طلاب.
[7] رابعاً: عدد الطلاب الذين لا يحبون أي من المادتين (مكملة الاتحاد (M ∪ S)'):
[8] n((M ∪ S)') = n(U) - n(M ∪ S) = 40 - 33 = 7 طلاب.
[9] التحقق من صحة الحل: 13 (رياضيات فقط) + 8 (علوم فقط) + 12 (كلاهما) + 7 (لا أحد) = 40 طالباً (مطابق لإجمالي الفصل تماماً).
💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: تذكر دائماً: 'مادة واحدة على الأقل' تعني الاتحاد (∪)، و 'مادتين معاً' تعني التقاطع (∩)!
★ تطبيق قوانين دي مورجان على مجموعات عددية
المعطيات والتفاعل والمطلوب: إذا كانت المجموعة الشاملة U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}، والمجموعة A = {2, 3, 5, 7}، والمجموعة B = {1, 3, 5, 7}. أوجد: (A ∪ B)' و (A ∩ B) وتحقق من صحة قانون دي مورجان الأول: (A ∪ B)' = A' ∩ B'.
خطوات الحل والبرهان الكيميائي:
[1] أولاً: نوجد الاتحاد A ∪ B: A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7}.
[2] مكملة الاتحاد (A ∪ B)': العناصر الموجودة في U وليست في الاتحاد: (A ∪ B)' = {4, 6, 8}.
[3] ثانياً: نوجد مكملة A منفردة: A' = U - A = {1, 4, 6, 8}.
[4] ونوجد مكملة B منفردة: B' = U - B = {2, 4, 6, 8}.
[5] ثالثاً: نوجد تقاطع المكملتين A' ∩ B': العناصر المشتركة بين A' و B' هي: A' ∩ B' = {4, 6, 8}.
[6] الاستنتاج والتحقق: نلاحظ أن (A ∪ B)' = {4, 6, 8}، و A' ∩ B' = {4, 6, 8}، وهما متطابقان تماماً، مما يثبت صحة قانون دي مورجان.
💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: قانون دي مورجان قاعدة أساسية في امتحانات الرياضيات والمنطق وعلوم الحاسوب!