أمثلة محلولة

• نص المسألة / السؤال: إذا كانت المتجهات: أ→ = (2، -1، 3)، ب→ = (1، 2، -2)، جـ→ = (3، 1، 1)؛
• احسب: 1) أ→ × ب→ ومساحة متوازي الأضلاع المنشأ عليهما ومساحة المثلث.
• 2) حجم متوازي السطوح المتولد من المتجهات أ→، ب→، جـ→.

خطوات الحل والشرح النموذجي: 1) حساب الضرب الاتجاهي أ→ × ب→ باستخدام محدد الرتبة الثالثة:أ→ × ب→ = | س̂ ص̂ ع̂ | | \[\begin{gathered}2 -1 3 | | 1 2 -2 |=\end{gathered}\] س̂ [ (-1)(-2) - (3)(2) ] - ص̂ [ (2)(-2) - (3)(1) ] + ع̂ [ \[\begin{gathered}(2)(2) - (-1)(1) ]=\end{gathered}\] س̂ [ 2 - 6 ] - ص̂ [ -4 - 3 ] + ع̂ [ 4 + 1 ]= -4 س̂ + 7 ص̂ + 5 ع̂ = (-4، 7، 5).معيار الضرب الاتجاهي ||أ→ × ب→|| = \[\begin{gathered}\sqrt{[(-4)^{2} + 7^{2} + 5^{2}]} = \sqrt{[16 + 49 + 25]} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}\end{gathered}\] وحدة طول.إذن مساحة متوازي الأضلاع المنشأ عليهما = 3√10 وحدة مساحة مربعة (حوالي 9.487 وحدة مربعة).مساحة المثلث الناتج عنهما = \(\left(\dfrac{1}{2}\right)\) مساحة متوازي الأضلاع = \(\left(\dfrac{3}{2}\right) \sqrt{10}\) وحدة مساحة مربعة.2) حساب حجم متوازي السطوح (الضرب الثلاثي القياسي أ→ · (ب→ × جـ→)):الحجم = القيمة المطلقة للمحدد المكون من المتجهات الثلاثة:| \[\begin{gathered}2 -1 3 || 1 2 -2 || 3 1 1 |= 2 [ (2)(1) - (-2)(1) ] - (-1) [ (1)(1) - (-2)(3) ] + 3 [ (1)(1) - (2)(3) ]= 2 [ 2 + 2 ] + 1 [ 1 + 6 ] + 3 [ 1 - 6 ]= 2(4) + 1(7) + 3(-5) = 8 + 7 - 15 = 0\end{gathered}\].بما أن ناتج الضرب الثلاثي القياسي = 0، فإن حجم متوازي السطوح = صفر وحدة حجم، وهذا يثبت هندسياً أن المتجهات الثلاثة أ→ و ب→ و جـ→ تقع جميعها في مستوى واحد.

نص المسألة / السؤال: أوجد: 1) معادلة المستوى المار بالنقطة أ(1، 2، 3) والعمودي على المتجه ن→ = (2، -3، 1). 2) طول العمود الساقط من النقطة ب(3، 0، -1) على هذا المستوى.

خطوات الحل والشرح النموذجي: 1) إيجاد معادلة المستوى:المتجه العمودي ن→ = (2، -3، 1)، والنقطة أ(1، 2، 3).الصورة القياسية: أ(س - س₁) + ب(ص - ص₁) + جـ(ع - ع₁) = 02(س - 1) - 3(ص - 2) + 1(ع - 3) = 02س - 2 - 3ص + 6 + ع - 3 = 02س - 3ص + ع + 1 = 0 (الصورة العامة لمعادلة المستوى).2) حساب طول العمود الساقط من النقطة ب(3، 0، -1) على المستوى 2س - 3ص + ع + 1 = 0:ل = |أ س₀ + ب ص₀ + جـ ع₀ + د| / √(أ² + ب² + جـ²)ل = | \(2(3) - 3(0) + 1(-1) + 1 | / \sqrt{[ 2^{2} + (-3)^{2} + 1^{2} ]}\)ل = | \[\begin{gathered}6 - 0 - 1 + 1 | / \sqrt{[ 4 + 9 + 1 ]} = |6| / \sqrt{14} = \dfrac{6}{\sqrt{14}}\end{gathered}\] وحدة طول.بإنطاق المقام: ل = \[\begin{gathered}\dfrac{6\sqrt{14}}{14} = \left(\dfrac{3}{7}\right) \sqrt{14}\end{gathered}\] وحدة طول (حوالي 1.6 وحدة طول).