النقطة 6 من 8 — الدرس الثاني: حساب المثلثات وقوانين الجيب وجيب التمام والتطبيقاتبنك الأسئلة: 39 سؤال (36 مصوّر)
07 أمثلة محلولة
حل مثلث باستخدام قاعدة الجيب وحساب نصف قطر الدائرة الخارجةالمعطيات والتفاعل والمطلوب: في المثلث ABC: إذا كان قياس الزاوية A = 45°، وقياس الزاوية B = 60°، وطول الضلع c = 10 cm. احسب: (1) قياس الزاوية C، (2) طولي الضلعين a و b، (3) مساحة الدائرة المارة برؤوس المثلث الخارجة. \[\begin{gathered}(\pi = 3.1416)\end{gathered}\].خطوات الحل والبرهان الكيميائي: [1] أولاً: حساب قياس الزاوية الثالثة C: قياس ∠\[\begin{gathered}C = 180{}^{\circ} - (45{}^{\circ} + 60{}^{\circ}) = 180{}^{\circ} - 105{}^{\circ} = 75{}^{\circ}. [2]\end{gathered}\] ثانياً: نطبق قاعدة الجيب: \[\begin{gathered}\dfrac{a}{\sin } A = \dfrac{b}{\sin } B = \dfrac{c}{\sin } C = 2R. \dfrac{[3] a}{\sin } 45{}^{\circ} = \dfrac{b}{\sin } 60{}^{\circ} = \dfrac{10}{\sin } 75{}^{\circ}. [4]\end{gathered}\] نحسب sin 75° بالآلة الحاسبة: \[\begin{gathered}\sin 75{}^{\circ} \approx 0.9659. [5]\end{gathered}\] طول الضلع \[\begin{gathered}a = \dfrac{10 \times \sin 45{}^{\circ}}{\sin } 75{}^{\circ} = \dfrac{10 \times 0.7071}{0.9659} \approx 7.32 \,\text{cm}. [6]\end{gathered}\] طول الضلع \[\begin{gathered}b = \dfrac{10 \times \sin 60{}^{\circ}}{\sin } 75{}^{\circ} = \dfrac{10 \times 0.8660}{0.9659} \approx 8.97 \,\text{cm}. [7]\end{gathered}\] ثالثاً: حساب نصف قطر الدائرة الخارجة R: \[\begin{gathered}2R = \dfrac{c}{\sin } C = \dfrac{10}{0.9659} \approx 10.353 \,\text{cm} ==\;\color{#15803d}{\mathbf{& \,\text{gt} ; R \approx 5.176 \,\text{cm}}}\end{gathered}\]. [8] مساحة الدائرة الخارجة = \[\begin{gathered}\pi R^{2} = 3.1416 \times (5.176)^{2} \approx 3.1416 \times 26.79 \approx 84.17 \,\text{cm}^{2}\end{gathered}\].💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: تذكر دائماً: النسبة الكاملة في قاعدة الجيب (ضلع معلوم مع زاويته المقابلة) تساوي 2R قطر الدائرة الخارجة!
حساب قياس أكبر زاوية في مثلث بدلالة أضلاعهالمعطيات والتفاعل والمطلوب: مثلث أطوال أضلاعه: \[\begin{gathered}a = 5 \,\text{cm}, b = 7 \,\text{cm}, c = 8 \,\text{cm}\end{gathered}\]. احسب قياس أكبر زوايا المثلث، ومساحة المثلث.خطوات الحل والبرهان الكيميائي: [1] في أي مثلث، أكبر زاوية تقابل دائماً أطول ضلع. أطول ضلع هو c = 8 cm، إذاً أكبر زاوية هي الزاوية C المقابلة له. [2] نطبق قانون جيب التمام للزاوية C: \[\begin{gathered}\cos C = \dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}. [3] \cos C = \dfrac{5^{2} + 7^{2} - 8^{2}}{2 \times 5 \times 7} = \dfrac{25 + 49 - 64}{70} = \dfrac{74 - 64}{70} = \dfrac{10}{70} = \dfrac{1}{7} \approx 0.14286. [4]\end{gathered}\] بما أن قيمة cos موجبة، فإن الزاوية حادة: قياس ∠\[\begin{gathered}C = \cos ^{-1}\left(\dfrac{1}{7}\right) \approx 81.79{}^{\circ}\end{gathered}\] (أو 81° 47' 12''). [5] ثانياً: حساب مساحة المثلث: \[\begin{gathered}\,\text{Area} = \dfrac{1}{2} a b \sin C = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin (81.79{}^{\circ}). [6] \sin (81.79{}^{\circ}) \approx 0.9897 ==\end{gathered}\]> \[\begin{gathered}\,\text{Area} = 17.5 \times 0.9897 \approx 17.32 \,\text{cm}^{2}\end{gathered}\].💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: قاعدة ذهبية: أكبر زاوية تقابل أكبر ضلع، وأصغر زاوية تقابل أصغر ضلع!
📝 بنك أسئلة هذه النقطة
39 سؤال مرتبط بهذه النقطة فقط، منها 36 سؤال بالصور.
